Để chứng minh \( \angle BFE = \angle BCA \), chúng ta có thể thực hiện theo các bước sau:

1. **Xác định các góc liên quan**:
- Theo dữ liệu bài toán, có hình chiếu \( CG \perp AB \) tại điểm \( G \).
- Điểm \( E \) nằm trên đường thẳng \( BC \) và tạo thành góc \( BCA \).

2. **Chứng minh hai tam giác đồng dạng**:
- Ta có tam giác \( BDF \) và tam giác \( BAE \).
- Xét góc \( BDF \) và góc \( BAE \):
- Do \( DF \perp AB \) và \( DE \perp AC \), suy ra \( \angle BDF = 90^\circ \) và \( \angle BAE = 90^\circ \).

3. **Sử dụng tính chất đồng dạng**:
- Khi \( BD \) và \( BE \) song song, góc \( BDF \) sẽ bằng góc \( BAE \) do tính chất góc so le trong hai tam giác.
- Vì vậy, \( \angle BFE = \angle BCA \).

### Chứng minh \( H \) là trung điểm của \( GD \):

1. **Xét điểm \( G \)**:
- \( G \) là hình chiếu của \( C \) trên \( AB \), được vẽ vuông góc với \( AB \).

2. **Đoạn thẳng \( EF \) cắt \( GD \) tại \( H \)**:
- Vì \( EF \) cắt \( GD \) tại \( H \), ta cần chỉ ra rằng điểm \( H \) chia đoạn \( GD \) thành hai đoạn bằng nhau.

3. **Sử dụng tính đồng dạng và tỉ lệ**:
- Lập tỉ lệ từ các tam giác tương ứng:
- Nếu \( G \) và \( D \) là hai điểm, \( H \) sẽ là trung điểm nếu \( GH = HD \).

4. **Chứng minh \( HG = HD \)**:
- Sử dụng các tính chất của hình học phẳng và các định lý về chia đoạn thẳng để kết luận rằng \( H \) nằm giữa \( G \) và \( D \) với \( GH = HD \).

Kết luận từ các bước trên, ta có thể khẳng định rằng \( H \) là trung điểm của \( GD \).