Để chứng minh các biểu thức sau luôn nhận giá trị âm với mọi giá trị của \( x \), chúng ta sẽ phân tích từng biểu thức một.

### a) Biểu thức: \( -\frac{1}{4}x^2 + x - 2 \)

Biểu thức này có dạng của một hàm bậc 2:
\[ f(x) = -\frac{1}{4}x^2 + x - 2 \]

- Hệ số của \( x^2 \) là \( -\frac{1}{4} < 0 \), do đó đồ thị của hàm này có dạng hình parabol ngược (mở xuống).
- Đỉnh của parabol có hoành độ \( x = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot -\frac{1}{4}} = 2 \).
- Thay \( x = 2 \) vào biểu thức để tìm giá trị tại đỉnh:
\[
f(2) = -\frac{1}{4}(2^2) + 2 - 2 = -\frac{1}{4}(4) + 2 - 2 = -1 + 2 - 2 = -1
\]
Vì hàm bậc 2 này có giá trị nhỏ nhất tại đỉnh là \( -1 \), nên nó sẽ nhận giá trị âm với mọi \( x \).

### b) Biểu thức: \( -3x^2 - 6x - 9 \)

Biểu thức này cũng có dạng của hàm bậc 2:
\[ g(x) = -3x^2 - 6x - 9 \]

- Hệ số của \( x^2 \) là \( -3 < 0 \), vì vậy đồ thị cũng là hình parabol ngược.
- Đỉnh của parabol có hoành độ \( x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot -3} = -1 \).
- Thay \( x = -1 \) vào biểu thức:
\[
g(-1) = -3(-1)^2 - 6(-1) - 9 = -3(1) + 6 - 9 = -3 + 6 - 9 = -6
\]
Giá trị tại đỉnh là \( -6 \), nên hàm này sẽ nhận giá trị âm với mọi \( x \).

### c) Biểu thức: \( (1-2x)(x-1)-5 \)

Ta sẽ đơn giản hóa biểu thức này:
\[
h(x) = (1 - 2x)(x - 1) - 5 = (1 - 2x)(x - 1) - 5 = -2x^2 + 3x - 6
\]

- Hệ số của \( x^2 \) là \( -2 < 0 \), do đó hàm này cũng là một parabol ngược.
- Tính đỉnh của hàm:
\[
x = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2 \cdot -2} = \frac{3}{4}
\]
- Thay \( x = \frac{3}{4} \) vào biểu thức:
\[
h\left( \frac{3}{4} \right) = -2\left(\frac{3}{4}\right)^2 + 3\left(\frac{3}{4}\right) - 6 = -2 \cdot \frac{9}{16} + \frac{9}{4} - 6
\]
Tính các thành phần:
\[
= -\frac{18}{16} + \frac{36}{16} - \frac{96}{16} = -\frac{18 + 60}{16} = -\frac{78}{16} = -\frac{39}{8}
\]
Giá trị tại đỉnh là \( -\frac{39}{8} \), và do hàm này là parabol ngược, nên giá trị của \( h(x) \) cũng luôn âm với mọi \( x \).

### Kết luận
Tất cả ba biểu thức \( -\frac{1}{4}x^2 + x - 2 \), \( -3x^2 - 6x - 9 \), và \( (1-2x)(x-1)-5 \) luôn nhận giá trị âm với mọi giá trị của \( x \).