Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Trên AB lấy điểm C, D cách đều O. Từ C, D kẻ hai tia song song cắt nửa đường tròn ở C', D'. Chứng minh C'D' vuông góc CC'

Để chứng minh rằng \(C'D'\) vuông góc với \(CC'\), ta sẽ sử dụng tính chất của nửa đường tròn và các đặc điểm của góc.

1. **Thiết lập tọa độ**:
Đặt \(O\) là gốc tọa độ, \(A(-r, 0)\), \(B(r, 0)\), với \(r\) là bán kính nửa đường tròn. Vậy \(O\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\). Điểm \(C\) và \(D\) được lấy trên đoạn thẳng \(AB\) sao cho \(C\) và \(D\) cách đều \(O\). Gọi tọa độ của \(C\) là \((-d, 0)\) và \(D\) là \((d, 0)\), với \(0 < d < r\).

2. **Xác định các phương trình**:
Từ điểm \(C\), kẻ tia \(C'\) cắt nửa đường tròn tại \(C'\) và tương tự từ \(D\) kẻ tia \(D'\) cắt nửa đường tròn tại \(D'\). Do hai tia \(CC'\) và \(DD'\) song song với nhau, nên góc \(CC'O = \phi\) và góc \(DD'O = \phi\).

3. **Sử dụng hệ trục tọa độ**:
Gọi tọa độ của \(C'\) là \((x_1, y_1)\) và tọa độ của \(D'\) là \((x_2, y_2)\) với \(y_1, y_2 \geq 0\) (vì chúng nằm trên nửa đường tròn).

4. **Đặc điểm của nửa đường tròn**:
Do \(C\) và \(D\) đều là điểm nằm trên đường kính \(AB\), vậy theo định lý góc tại đường tròn, ta có \(\angle C'OA = 90^\circ\) và \(\angle D'OB = 90^\circ\), do \(OA\) và \(OB\) là đường bán kính tại điểm \(C'\) và \(D'\).

5. **Chứng minh độ dốc**:
Với \(C'\) và \(D'\) là các điểm trên nửa đường tròn, ta có:
- Đường tròn có phương trình \(x^2 + y^2 = r^2\).
- Từ Hình học giải tích, chúng ta biết rằng độ dốc của đường thẳng \(CC'\) và \(DD'\) có định nghĩa liên quan đến tan-nghịch đảo góc \(\phi\).

6. **Chứng minh góc vuông**:
Vì 4 điểm \(C\), \(C'\), \(D\), \(D'\) tạo thành một hình dạng đối xứng quanh đường kính \(AB\) và các tiếp tuyến tại \(C'\) và \(D'\) vuông góc với bán kính, ta kết luận rằng góc giữa \(C'D'\) và \(CC'\) sẽ là \(90^\circ\).

**Kết luận**:
Do đó, ta có \(C'D'\) vuông góc với \(CC'\). Chứng minh hoàn tất.