Để giải bài toán này, ta sẽ làm theo từng phần:

a) Tính các góc còn lại của tam giác ABC:

Tam giác ABC có đặc điểm là cân tại A, vì vậy \( AB = AC \). Gọi \( C \) là góc tại đỉnh \( A \).
Ta có:
\[
\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ
\]
Biết rằng \( \angle B = 70^\circ \), ta có:
\[
\angle A + 70^\circ + \angle C = 180^\circ
\]
Vì tam giác là cân tại \( A \), nên \( \angle B = \angle C \):
\[
\angle A + 70^\circ + \angle A = 180^\circ \implies 2\angle A + 70^\circ = 180^\circ
\]
\[
2\angle A = 110^\circ \implies \angle A = 55^\circ
\]
Do đó, \( \angle C = 55^\circ \).

Vậy các góc của tam giác ABC là:
- \( \angle A = 55^\circ \)
- \( \angle B = 70^\circ \)
- \( \angle C = 55^\circ \)

b) Chứng minh rằng \( \triangle A B I \cong \triangle A C K \):

- Có \( AB = AC \) (do tam giác đều tại A).
- \( AI \) và \( AK \) là các đoạn thẳng cùng bằng nhau vì \( I \) và \( K \) là trung điểm của \( AB \) và \( AC \).
- Góc \( \angle A \) chung.

=> Áp dụng tiêu chí cạnh - cạnh - cạnh (CC) để kết luận:
\[
\triangle A B I \cong \triangle A C K
\]

c) Gọi \( G \) là giao điểm của \( BI \) và \( CK \). Chứng minh rằng \( AG \perp BC \):

- Từ \( \triangle A B I \cong \triangle A C K \):
- Ta có \( AI = AK \) và \( BI = CK \).

- Do đó, hai tam giác này có các cặp cạnh tương ứng bằng nhau và góc chung \( \angle A \).

Dùng định lý giao điểm của các đường trung tuyến trong tam giác, ta có \( AG \) là đường trung tuyến của tam giác \( ABC \), và do đó, \( AG \) vuông góc với \( BC \).

Tóm lại:
- Các góc của tam giác ABC là \( 55^\circ, 70^\circ, 55^\circ \).
- \( AB I \cong A C K \).
- \( AG \perp BC \).