Để chứng minh tứ giác AKDH là hình chữ nhật, chúng ta sẽ dựa vào các tính chất về góc và các đoạn thẳng.

### Bước 1: Xác định các góc cần chứng minh

- Trong tứ giác AKDH, ta cần chứng minh rằng góc \(AKH = 90^\circ\) và góc \(KDH = 90^\circ\).
- Với điểm D nằm trên đoạn BC sao cho các đường thẳng AC và AB cắt BC tại M và N và H, K là trung điểm của MN.

### Bước 2: Sử dụng các tính chất của tam giác vuông

1. **Góc vuông tại D**:
- Do xây dựng D từ BC với góc vuông với cạnh BC, nên góc \(ADB = 90^\circ\).

2. **Tam giác vuông**:
- Cả hai tam giác \(ABM\) và \(ACN\) đều là tam giác vuông tại M và N.

### Bước 3: Các đoạn thẳng

- Do H và K là trung điểm của MN, tức là \(MH = HK = NK\).
- Khi đó, các đoạn thẳng AH và DK sẽ song song với nhau (vì cùng vuông góc với BC).

### Bước 4: Kết luận

Khi đó, tứ giác AKDH có 2 cặp cạnh đối diện song song và góc giữa chúng là 90 độ. Do đó, theo định nghĩa, tứ giác AKDH là hình chữ nhật.

### Kết luận

**Tứ giác AKDH là hình chữ nhật.**