### Giải bài tập

**Bài 2:**

Cho tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \), trung tuyến \( AM \). Từ \( M \) kẻ \( MD \) song song với \( AC \), \( MI \) song song với \( AB \) (với \( I \in AC \), \( D \in BA \)).

#### a) Chứng minh tứ giác \( ADMI \) là hình chữ nhật.

**Giải:**

- Ta có \( MD \parallel AC \) và \( MI \parallel AB \).
- Theo định nghĩa, hai đường thẳng song song tạo ra các góc đồng vị bằng nhau.
- Xét các góc:
- \( \angle ADM = \angle MIA \) (góc đồng vị)
- \( \angle AID = \angle DMA \) (góc đồng vị)
- Từ đó suy ra:
- \( \angle ADM = \angle MIA = 90^\circ \) (vì tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \))
- Do đó, tứ giác \( ADMI \) có hai cặp cạnh song song và hai cặp góc vuông, suy ra \( ADMI \) là hình chữ nhật.

#### b) Gọi \( H \) là điểm thuộc tia đối của tia \( IM \) sao cho \( I \) là trung điểm của \( MH \). Chứng minh tứ giác \( AMCH \) là hình thoi.

**Giải:**

- Ta có \( I \) là trung điểm của \( MH \), suy ra \( MI = IH \).
- Từ trước, đã chứng minh \( AM \) là trung tuyến nên \( AM = MB \).
- Có \( MA = MH \) (vì \( MA = MI + IH \)), suy ra \( AM = MH \).
- Ta có:
- Xuất phát từ \( H \) và \( C \) nằm trên cùng một đường thẳng \( AC \), với các góc đối xứng qua \( AB \).
- Do đó, các cạnh \( AM \) và \( CH \) song song với nhau, và \( AH \) là bình phương đối diện.
- Từ đó, ta suy ra \( AMCH \) là hình thoi.

#### c) Tam giác \( ABC \) cần bổ sung thêm điều kiện gì để tứ giác \( AMCH \) là hình vuông.

**Giải:**

- Để tứ giác \( AMCH \) là hình vuông, cần phải đảm bảo rằng:
- \( AM = AH \) (các cạnh đối diện bằng nhau) và
- \( \angle AMH = 90^\circ \) (các góc phải cùng bằng 90 độ).
- Do đó, điều kiện cần thiết là \( \angle AMH \) phải là góc vuông. Điều này có thể đạt được nếu \( H \) nằm theo phương vuông góc với \( AM \) từ điểm \( A \) và đối xứng với \( C \).