Để chứng minh rằng 6 điểm \( E, F, G, H, B, D \) cùng nằm trên một đường thẳng, ta sẽ thực hiện các bước như sau:

1. **Xác định tọa độ các điểm**:
- Giả sử \( A(0, 0) \), \( B(a, 0) \), \( C(a + b \cos 60^\circ, b \sin 60^\circ) \), \( D(b \cos 60^\circ, b \sin 60^\circ) \).
- Từ đó, tính được các điểm trung điểm:
- \( E\left(\frac{a}{2}, 0\right) \)
- \( F\left(a + \frac{b}{2} \cos 60^\circ, \frac{b}{2} \sin 60^\circ\right) \)
- \( G\left(\frac{a + b \cos 60^\circ}{2}, \frac{b \sin 60^\circ}{2}\right) \)
- \( H\left(\frac{b \cos 60^\circ}{2}, \frac{b \sin 60^\circ}{2}\right) \)

2. **Kiểm tra tính chất đồng phẳng**:
- Sử dụng phương pháp độ dốc hoặc phân tích véc tơ để chứng minh rằng các vector từ \( E \) đến các điểm còn lại \( F, G, H, B, D \) đồng phẳng.
- Cụ thể, ta chứng minh rằng \( EF \), \( EH \), \( FG \), \( FB \), và \( GD \) có cùng một tỉ lệ.

3. **Áp dụng định lý**:
- Dựa trên tính chất hình học, nếu \( E, F, G, H \) là các trung điểm, ta có thể chứng minh rằng \( B \) và \( D \) nằm trên đường thẳng đi qua các điểm này bằng việc xét các tam giác và độ dài các cạnh ứng với từng điểm.

Cuối cùng, kết luận lại rằng vì các điểm \( E, F, G, H, B, D \) thỏa mãn các tính chất đồng phẳng nên chúng cùng nằm trên một đường thẳng như đã chứng minh.