Để chứng minh rằng tổng \( MD + ME + MF \) không phụ thuộc vào vị trí điểm \( M \) trong tam giác đều \( ABC \), ta sử dụng một số tính chất của tam giác đều và lý thuyết hình học.

1. **Chọn hệ tọa độ:** Giả sử tam giác \( ABC \) đều với các đỉnh như sau trong hệ tọa độ: \( A(0, \sqrt{3}) \), \( B(-1, 0) \), \( C(1, 0) \). Độ dài cạnh của tam giác này là 2.

2. **Gọi các điểm D, E, F:** Theo giả thiết, ta có:
- \( D \) thuộc \( BC \)
- \( E \) thuộc \( CA \)
- \( F \) thuộc \( AB \)
với \( MD \parallel AB \), \( ME \parallel BC \), và \( MF \parallel CA \).

3. **Tính độ dài các đoạn thẳng:**
- Do \( MD \parallel AB \), \( MD \) là đoạn thẳng vẽ từ \( M \) đến cạnh \( BC \) và tạo thành một hình bình hành với độ dài bằng chiều cao từ \( M \) đến cạnh \( BC \).
- Tương tự, \( ME \) và \( MF \) cũng cho ra các đoạn có độ dài tương đương bằng chiều cao từ \( M \) đến các cạnh tương ứng.

4. **Sử dụng định lý Menelaus:** Khi vẽ các đoạn \( MD, ME, MF \) như trên, chúng ta có thể xem các chiều cao này sẽ tạo thành các tam giác nhỏ bên trong tam giác đều \( ABC \).

5. **Tính tổng:** Khi xem xét điểm \( M \) dịch chuyển trong tam giác đều \( ABC \), tổng \( MD + ME + MF \) là tổng độ dài các đoạn thẳng từ \( M \) đến các cạnh của tam giác. Nhờ vào tính chất của tam giác đều, chiều cao từ \( M \) xuống các cạnh của tam giác sẽ bù trừ lẫn nhau, do đó tổng hợp độ dài này luôn giữ nguyên.

6. **Kết luận:** Dù cho vị trí của \( M \) thay đổi trong tam giác đều, tổng \( MD + ME + MF \) vẫn sẽ bằng một hằng số (bằng chiều cao của tam giác đều). Ta có thể tính giá trị này theo chiều dài cạnh tam giác \( AB \) mà luôn cho kết quả không thay đổi.

Vì vậy, ta có thể kết luận rằng tổng \( MD + ME + MF \) là hằng số không phụ thuộc vào vị trí của điểm \( M \) trong tam giác đều \( ABC \).