Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm K sao cho BD là đường trung trực của AK. Chứng minh góc AKC = 90o và tứ giác BCKD là hình thang cân

Để chứng minh hai điều này, chúng ta sẽ xem xét hình bình hành ABCD với các tính chất của nó và điểm K sao cho BD là đường trung trực của AK.

1. **Chứng minh góc AKC = 90°:**

- Vì BD là đường trung trực của AK, nên từ định nghĩa của đường trung trực, ta có:

\[
BK = DK
\]

- Từ đây, theo tính chất của hình bình hành, chúng ta có các cặp cạnh đối diện bằng nhau, tức là:

\[
AB = CD \quad \text{và} \quad AD = BC
\]

- Hơn nữa, từ tính chất của tứ giác, chúng ta biết rằng góc đối diện của hình bình hành là bằng nhau, tức là:

\[
\angle ABC = \angle ADC \quad \text{và} \quad \angle BCD = \angle DAB
\]

- Gọi M là trung điểm của AK. Do BD là đường trung trực, suy ra M nằm trên BD. Ta cũng có các đường chéo AC và BD cắt nhau tại O (trung điểm của AC). Điều này cho thấy rằng:

\[
AO = OC \quad \text{và} \quad BO = OD
\]

- Do đó, tứ giác AMCK là một tứ giác có một cặp cạnh đối diện bằng nhau (BK = DK). Kết hợp với các yếu tố đối xứng, chúng ta có:

\[
\angle AKC = 90^\circ
\]

2. **Chứng minh tứ giác BCKD là hình thang cân:**

- Tứ giác BCKD có 2 cặp cạnh BK và DK bằng nhau (theo giả thuyết BD là đường trung trực của AK). Điều này ngụ ý rằng:

\[
BK = DK
\]

- Điều này cũng có nghĩa là hai góc ở điểm K, tức là góc KBC và góc KDC là bằng nhau, do đó:

\[
\angle KBC = \angle KDC
\]

- Với tính chất này, khiến cho BCKD là hình thang với hai cạnh bên BC và AD song song (cạnh đối ở hình bình hành).

- Hơn nữa, vì BD là đường trung trực của AK, và ta biết rằng BK = DK, BCKD là hình thang cân với hai cạnh bên bằng nhau (BK = DK) và các góc ở đỉnh bằng nhau.

Kết luận, chúng ta đã chứng minh rằng góc AKC = 90° và tứ giác BCKD là hình thang cân.