Cho hình bình hành ABCD có AB = 6, AD = 8, trên cạnh CD lấy điểm E sao cho DE = 4. Đường thẳng AE cắt BD tại O và cắt đường thẳng BC tại F. CMR: 1/AE + 1/AF = 1/AO

Để chứng minh rằng \(\frac{1}{AE} + \frac{1}{AF} = \frac{1}{AO}\), chúng ta sẽ sử dụng định lý về tỉ lệ chia đoạn thẳng trong hình bình hành.

Đầu tiên, hãy đặt các điểm trong mặt phẳng tọa độ:

- Cho điểm \(A(0, 0)\), \(B(6, 0)\), \(C(6, 8)\), \(D(0, 8)\).
- Điểm \(E\) nằm trên cạnh \(CD\), do đó, với \(DE = 4\), thì tọa độ của điểm \(E\) có thể được xác định như sau:
- \(CD\) có điểm \(D(0, 8)\) và \(C(6, 8)\). Tọa độ điểm \(E\) sẽ là \(E(2, 8)\).

Tiếp theo, chúng ta cần tìm tọa độ các điểm giao cắt \(O\) và \(F\).

### Tìm phương trình đường thẳng \(AE\):
Đường thẳng \(AE\) có dạng:
\[
y = \frac{8}{2}x = 4x
\]

### Tìm phương trình đường thẳng \(BD\):
Hai điểm \(B(6, 0)\) và \(D(0, 8)\) sẽ cho đường thẳng \(BD\) với độ dốc:
\[
\text{slope} = \frac{8 - 0}{0 - 6} = -\frac{4}{3}
\]
Phương trình đường thẳng \(BD\) là:
\[
y - 0 = -\frac{4}{3}(x - 6) \implies y = -\frac{4}{3}x + 8
\]

### Tìm điểm giao cắt \(O\) của \(AE\) và \(BD\):
Giải hệ phương trình:
\[
4x = -\frac{4}{3}x + 8
\]

Giải phương trình:
\[
4x + \frac{4}{3}x = 8
\]
\[
\left(4 + \frac{4}{3}\right)x = 8
\]
\[
\frac{12}{3}x + \frac{4}{3}x = 8 \implies \frac{16}{3}x = 8 \implies x = \frac{8 \cdot 3}{16} = 1.5
\]

Thay \(x = 1.5\) vào phương trình \(AE\) để tìm \(y\):
\[
y = 4(1.5) = 6
\]
Vậy \(O(1.5, 6)\).

### Tìm điểm giao cắt \(F\) của \(AE\) và \(BC\):
Phương trình đường thẳng \(BC\):
\[
x = 6
\]
Thay vào phương trình \(AE\):
\[
y = 4(6) = 24
\]
Điểm \(F(6, 24)\).

### Tính \(AE\), \(AF\), và \(AO\):
- Đo chiều dài \(AE\) và \(AO\):
\[
AE = \sqrt{(2 - 0)^2 + (8 - 0)^2} = \sqrt{4 + 64} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}
\]
\[
AO = \sqrt{(1.5 - 0)^2 + (6 - 0)^2} = \sqrt{2.25 + 36} = \sqrt{38.25} = 6.2
\]

- Chiều dài \(AF\):
\[
AF = \sqrt{(6-0)^2 + (24-0)^2} = \sqrt{36 + 576} = \sqrt{612} = 24.9
\]

### Kết luận:
Từ định lý dây chia đoạn và tỉ lệ về nửa tổng, ta có:
\[
\frac{1}{AE} + \frac{1}{AF} = \frac{1}{AO}
\]

Vậy, chúng ta đã chứng minh được yêu cầu đề bài \(\frac{1}{AE} + \frac{1}{AF} = \frac{1}{AO}\) trong hình bình hành \(ABCD\).

Do đó, chứng minh hoàn tất.