Để tính giá trị của biểu thức

\[
C = x^3 - 3x^2 + 3x^2y + 3xy^2 + y^2 - 3y^2 - 6xy + 3x + 3y + 2023
\]

với điều kiện \( x + y = 101 \), chúng ta sẽ thay \( y \) bằng \( 101 - x \).

Bắt đầu bằng cách thay \( y \) vào biểu thức \( C \):

\[
y = 101 - x
\]

\[
C = x^3 - 3x^2 + 3x^2(101 - x) + 3x(101 - x)^2 + (101 - x)^2 - 3(101 - x)^2 - 6x(101 - x) + 3x + 3(101 - x) + 2023
\]

Tiến hành thay từng phần và đơn giản hóa:

1. **Tính \( 3x^2(101 - x) \)**:

\[
3x^2(101 - x) = 303x^2 - 3x^3
\]

2. **Tính \( 3x(101 - x)^2 \)**:

\[
(101 - x)^2 = 101^2 - 202x + x^2 = 10201 - 202x + x^2
\]

\[
3x(101 - x)^2 = 3x(10201 - 202x + x^2) = 30603x - 606x^2 + 3x^3
\]

3. **Tính \( (101 - x)^2 \)**:

\[
101^2 - 202x + x^2 = 10201 - 202x + x^2
\]

4. **Tính \( -3(101 - x)^2 \)**:

\[
-3(10201 - 202x + x^2) = -30603 + 606x - 3x^2
\]

5. **Tính \( -6x(101 - x) \)**:

\[
-6x(101 - x) = -606x + 6x^2
\]

6. **Thay tất cả vào \( C \) và đơn giản hóa**:

Phép thế vào biểu thức \( C \):

\[
C = x^3 - 3x^2 + 303x^2 - 3x^3 + 30603x - 606x^2 + 3x^3 + 10201 - 202x + x^2 - 30603 + 606x - 3x^2 + 3x + 3(101 - x) + 2023
\]

Tính các hệ số của \( x^2 \):

\[
-3x^2 + 303x^2 - 606x^2 - 3x^2 = -309x^2
\]

Tính các hệ số của \( x \):

\[
30603x - 202x + 606x + 3x + 3(101 - x) = 30603x - 202x + 606x + 3x + 303 - 3x = 30603 - 202 + 606 + 3 = 30603 + 407 = 31010x
\]

Tính hằng số:

\[
10201 - 30603 + 2023 = 10201 - 30603 + 2023 = -20402 + 2023 = -18379
\]

Vậy biểu thức \( C \) trở thành:

\[
C = -309x^2 + 31010x - 18379
\]

Bây giờ, để tìm giá trị lớn nhất của \( C \) với điều kiện \( x + y = 101 \), ta có thể tính bằng cách cho \( x = 50.5 \) hoặc thay vào hai giá trị gần nhất.

Giá trị của biểu thức tại \( x = 50 \) và \( y = 51 \):

1. Tính \( C \) trả lại \( x = 50\):

\[
C = 0 + (3 \cdot 50 + 3 \cdot 51) + 2023 = 310 + 2023 = 2333
\]

2. Tính \( C \) khi \( x = 51\):

\[
C = -309 \cdot 2601 + 31010 = 2333
\]

Từ đó có thể kết luận:

\[
\boxed{2023}
\]