Để chứng minh rằng \( M = \frac{3}{10} + \frac{3}{11} + \frac{3}{12} + \frac{3}{13} \) nằm trong khoảng \( 1 < M < 2 \), ta sẽ tính toán giá trị của \( M \).

Bắt đầu với việc tính từng phần tử:

\[
\frac{3}{10} = 0.3
\]

\[
\frac{3}{11} \approx 0.2727 \quad (\text{làm tròn đến 4 chữ số thập phân})
\]

\[
\frac{3}{12} = 0.25
\]

\[
\frac{3}{13} \approx 0.2308 \quad (\text{làm tròn đến 4 chữ số thập phân})
\]

Bây giờ, ta cộng các giá trị lại với nhau:

\[
M \approx 0.3 + 0.2727 + 0.25 + 0.2308
\]

Cộng các số này, ta có:

\[
M \approx 0.3 + 0.2727 = 0.5727
\]

\[
0.5727 + 0.25 = 0.8227
\]

\[
0.8227 + 0.2308 \approx 1.0535
\]

Vậy, giá trị xấp xỉ của \( M \) là khoảng \( 1.0535 \).

Chúng ta thấy rằng \( M \) lớn hơn 1. Tiếp theo là kiểm tra xem \( M \) có lớn hơn 2 hay không. Để làm điều này, ta có thể kiểm tra tổng của các phần riêng biệt:

Ta biết rằng \( \frac{3}{10} + \frac{3}{11} + \frac{3}{12} + \frac{3}{13} \) có thể được viết lại như sau:

\[
M = 3 \left( \frac{1}{10} + \frac{1}{11} + \frac{1}{12} + \frac{1}{13} \right)
\]

Bây giờ, cần tính tổng \( \frac{1}{10} + \frac{1}{11} + \frac{1}{12} + \frac{1}{13} \):

\[
\frac{1}{10} \approx 0.1
\]

\[
\frac{1}{11} \approx 0.0909
\]

\[
\frac{1}{12} \approx 0.0833
\]

\[
\frac{1}{13} \approx 0.0769
\]

Cộng các phần riêng biệt này lại:

\[
\frac{1}{10} + \frac{1}{11} + \frac{1}{12} + \frac{1}{13} \approx 0.1 + 0.0909 + 0.0833 + 0.0769 \approx 0.3511
\]

Do đó:

\[
M \approx 3 \times 0.3511 \approx 1.0533
\]

Cuối cùng, do đó ta có:

\[
1 < M < 2
\]

Vậy, ta đã chứng minh được rằng \( 1 < M < 2 \).