Để chứng minh tứ giác ABCD là hình bình hành, ta thực hiện các bước như sau:

1. **Đặt các điểm**:
- Gọi trung điểm M của đoạn BC.
- Gọi A, B, C, D lần lượt là các đỉnh của tam giác và điểm D như đã cho.

2. **Xác định độ dài**:
- Từ giả thiết, ta có \( MA = MD \).
- Do M là trung điểm của BC, nên ta có \( MB = MC \).

3. **Chứng minh các cạnh**:
- Ta sẽ chứng minh hai cặp cạnh đối diện của tứ giác ABCD bằng nhau.
- Xét tam giác AMB và AMD. Ta có:
- \( MA = MD \) (gía trị đã cho)
- \( MB = MC \) (vì M là trung điểm của BC)
- Cạnh AB chung.
- Từ đó, theo định lý tam giác (cạnh - góc - cạnh), ta có:
- \( AM = MD \) và \( MB = MC \) nên \( AB = CD \).

4. **Chứng minh các góc**:
- Ta có góc \( \angle AMB = \angle CMD \) vì chúng là các góc đối diện trong hai tam giác AMB và AMD (có cạnh chung AM).

5. **Kết luận**:
- Từ các chứng minh trên, ta có hai cặp cạnh đối diện bằng nhau và các góc đối diện bằng nhau: \( AB = CD \) và \( AD = BC \).
- Do đó, tứ giác ABCD là hình bình hành.

Chứng minh đã hoàn thành.