Để rút gọn biểu thức \( P \), trước tiên chúng ta cần hiểu rõ các thành phần của nó:

\[
P = \left( \frac{1}{\sqrt{a}-3} + \frac{1}{\sqrt{a}+3} \right) \left( 1 - \frac{3}{\sqrt{a}} \right)
\]

Bước 1: Tính giá trị của phần \( \frac{1}{\sqrt{a}-3} + \frac{1}{\sqrt{a}+3} \)

Ta có:

\[
\frac{1}{\sqrt{a}-3} + \frac{1}{\sqrt{a}+3} = \frac{(\sqrt{a}+3) + (\sqrt{a}-3)}{(\sqrt{a}-3)(\sqrt{a}+3)} = \frac{2\sqrt{a}}{a - 9}
\]

Bây giờ thay vào biểu thức \( P \):

\[
P = \left( \frac{2\sqrt{a}}{a - 9} \right) \left( 1 - \frac{3}{\sqrt{a}} \right)
\]

Bước 2: Rút gọn \( P \)

Tính phần \( 1 - \frac{3}{\sqrt{a}} \):

\[
1 - \frac{3}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a} - 3}{\sqrt{a}}
\]

Vậy, ta có:

\[
P = \frac{2\sqrt{a}}{a - 9} \cdot \frac{\sqrt{a} - 3}{\sqrt{a}} = \frac{2(\sqrt{a})(\sqrt{a}-3)}{(a-9)\sqrt{a}}
\]

Rút gọn thêm:

\[
P = \frac{2(\sqrt{a}^2 - 3\sqrt{a})}{(a-9)\sqrt{a}} = \frac{2(a - 3\sqrt{a})}{(a-9)}
\]

Bước 3: Điều kiện \( P > \frac{1}{2} \)

Giải bất phương trình:

\[
\frac{2(a - 3\sqrt{a})}{a - 9} > \frac{1}{2}
\]

Nhân chéo:

\[
4(a - 3\sqrt{a}) > a - 9
\]

Đưa tất cả về một phía:

\[
4a - 12\sqrt{a} > a - 9 \Rightarrow 3a - 12\sqrt{a} + 9 > 0
\]

Bước 4: Giải bất phương trình

Ta sẽ làm một phép biến đổi đơn giản bằng cách đặt \( x = \sqrt{a} \):

\[
3x^2 - 12x + 9 > 0
\]

Giải phương trình bậc 2:

\[
D = (-12)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 9 = 144 - 108 = 36
\]

Nghiệm của phương trình:

\[
x = \frac{12 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 3} = \frac{12 \pm 6}{6} = \{3, 1\}
\]

Bất phương trình \( 3x^2 - 12x + 9 > 0 \) sẽ có đồ thị là một parabola mở lên và sẽ có giá trị dương ngoài khoảng \((1, 3)\).

Với \( x = \sqrt{a} \Rightarrow a \) sẽ thuộc hai khoảng:

1. \( a < 1 \)
2. \( a > 9 \)

Giải thích:

- Với \( a < 1 \), \( P \) sẽ lớn hơn \( \frac{1}{2} \).
- Với \( a > 9 \), \( P \) cũng sẽ lớn hơn \( \frac{1}{2} \).

Vậy kết luận cuối cùng:

\[
\text{Để } P > \frac{1}{2}, a \text{ cần thoả } a < 1 \text{ hoặc } a > 9.
\]