Để chứng minh rằng biểu thức \(-3x^2 + 12x - 15\) luôn âm với mọi \(x\), ta có thể tìm hiểu về dạng tổng quát và giá trị của hàm bậc hai này.

1. **Phân tích hàm bậc hai**:
Biểu thức là một hàm bậc hai theo \(x\), có dạng:
\[
f(x) = -3x^2 + 12x - 15
\]
Trong đó, hệ số của \(x^2\) là \(-3\) (âm), do đó đồ thị của hàm này là một parabol mở ngược.

2. **Tính delta**:
Để tìm nghiệm của phương trình \(f(x) = 0\), ta tính delta (\(\Delta\)):
\[
a = -3, \quad b = 12, \quad c = -15
\]
\[
\Delta = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot (-3) \cdot (-15)
\]
Tính toán:
\[
\Delta = 144 - 180 = -36
\]

3. **Kết luận về nghiệm**:
Vì \(\Delta < 0\), phương trình \(f(x) = 0\) không có nghiệm thực, nghĩa là biểu thức \(-3x^2 + 12x - 15\) không bao giờ bằng 0.

4. **Xét giá trị của hàm**:
Do parabol mở ngược và không cắt trục hoành (không có nghiệm thực), giá trị lớn nhất của hàm sẽ là tại đỉnh của parabol. Đỉnh của parabol được tính bằng công thức:
\[
x_{đỉnh} = -\frac{b}{2a} = -\frac{12}{2 \cdot (-3)} = 2
\]
Tính giá trị của hàm tại \(x = 2\):
\[
f(2) = -3(2^2) + 12(2) - 15
\]
\[
= -3 \cdot 4 + 24 - 15 = -12 + 24 - 15 = -3
\]

5. **Kết luận**:
Vì giá trị tại đỉnh \(f(2) = -3 < 0\) và hàm bậc hai mở ngược nên \(f(x)\) luôn âm với mọi \(x\).

Do đó, ta kết luận rằng biểu thức \(-3x^2 + 12x - 15\) luôn âm với mọi giá trị của \(x\).