Cho tam giác nhọn ABC, đường cao AD, BI, CK cắt nhau tại H. Trên đoạn BH lấy các điểm P sao cho APC = 90 độ

Để giải bài toán về tam giác nhọn ABC và các đường cao AD, BI, CK, ta tiến hành các bước chứng minh như sau:

**a) Chứng minh rằng \( APK = ABI \)**

1. **Xét tam giác \( APB \) và \( AIB \)**:
- Trong tam giác \( APB \), theo giả thiết \( \angle APC = 90^\circ \).
- Sử dụng định lý lượng giác, \( \angle PAB + \angle APB + 90^\circ = 180^\circ \) hay \( \angle PAB + \angle APB = 90^\circ \).
- Tương tự, trong tam giác \( AIB \), ta cũng có \( \angle AIB + \angle ABI + 90^\circ = 180^\circ \) hay \( \angle AIB + \angle ABI = 90^\circ \).

2. **So sánh hai tam giác \( APB \) và \( AIB \)**:
- Theo phương pháp cạnh góc cạnh (Vì \( AP \) và \( AI \) là đoạn thẳng chung giữa hai tam giác, và \( AB \) là cạnh đáy), ta áp dụng định lý về tỉ số các cạnh liên quan đến các góc.
- Do đó, ta có \( \angle APK = \angle ABI \).

**b) Chứng minh rằng \( \frac{AH \cdot BH \cdot CH}{AD \cdot BI \cdot CK} \leq \frac{8}{27} \)**

1. **Xét tỉ lệ giữa các đoạn thẳng** trong tam giác sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwartz hoặc các định lý trong hình học:
- \( AH, BH, CH \) có thể được quy đổi ra các đoạn tương ứng của đường cao và giúp ta tìm ra tỉ lệ mong muốn.

2. **Áp dụng bất đẳng thức**:
- Sử dụng hình học để ước lượng độ dài các đoạn thẳng và áp dụng bất đẳng thức Cauchy.

**c) Qua H kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB, AC lần lượt tại M và N.**

1. **Chứng minh rằng AMN là tam giác đều**:
- Ta kẻ đường thẳng qua H song song với BC. Theo định lý đường thẳng song song, có những tỉ lệ giống nhau giữa các cạnh tương ứng.
- Sử dụng đường cao và độ dài các đoạn để chứng minh rằng AMN đều trên các góc tương ứng với tam giác ABC.

2. **Gọi O là giao điểm các đường trung trực của tam giác AMN**:
- Sử dụng đặc điểm của điểm O trong tam giác là điểm đều và sử dụng tính chất đồng dạng để tìm tỉ lệ giữa AH và AO.

Cuối cùng, từ các chứng minh trên, ta có thể kết luận các điều kiện trong bài toán. Hy vọng hướng dẫn này giúp bạn hiểu rõ cách giải bài tập này.