Gọi \( AB = a \) và \( DC = b \). Theo đề bài, ta có:

\[
b = \frac{3}{2} a
\]

Được biết chiều dài của đáy \( AB \):

\[
a = 24 \text{ cm}
\]

Vậy:

\[
b = \frac{3}{2} \cdot 24 = 36 \text{ cm}
\]

Sử dụng công thức tính diện tích của hình thang:

\[
S = \frac{(a + b) \cdot h}{2}
\]

Trong đó \( S \) là diện tích, \( h \) là chiều cao. Thay các giá trị vào công thức:

\[
414 = \frac{(24 + 36) \cdot h}{2}
\]

Tính tổng các đáy:

\[
414 = \frac{60 \cdot h}{2}
\]

Rút gọn:

\[
414 = 30h
\]

Tính \( h \):

\[
h = \frac{414}{30} = 13.8 \text{ cm}
\]

Vậy chiều cao của hình thang ABCD là \( 13.8 \) cm.