Giải các phương trình lượng giác sau:

Để giải các phương trình lượng giác sau, ta thực hiện từng phương trình như sau:

### Bài tập 1:

a) \( 2 \sin^2 x + \sin x = 0 \)

Ta đặt \( y = \sin x \), phương trình trở thành:

\[ 2y^2 + y = 0 \]

Giải phương trình bậc hai:

\[ y(2y + 1) = 0 \]

Do đó, \( y = 0 \) hoặc \( 2y + 1 = 0 \) (tức là \( y = -\frac{1}{2} \)).

- Với \( y = 0 \): \( \sin x = 0 \Rightarrow x = k\pi \) với \( k \in \mathbb{Z} \).
- Với \( y = -\frac{1}{2} \): \( \sin x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \) hoặc \( x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi \) với \( k \in \mathbb{Z} \).

Tóm lại, nghiệm của phương trình là:

\[ x = k\pi, \quad x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi, \quad x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi \]

b) \( \sin 4x + \cos 5x = 0 \)

Ta có:

\[ \sin 4x = -\cos 5x \]

Sử dụng công thức \( \sin A = -\cos B \) có thể viết thành:

\[ \sin 4x = \sin\left(-\left(5x - \frac{\pi}{2}\right)\right) \]

Từ đó, ta giải phương trình:

\[ 4x = -\left(5x - \frac{\pi}{2}\right) + 2k\pi \quad \text{hoặc} \quad 4x = \left(5x - \frac{\pi}{2}\right) + 2k\pi \]

Giải hai phương trình trên sẽ cho ra nghiệm cụ thể.

### Bài tập 2:

a) \( \sin(2x - \frac{\pi}{2}) = 0 \)

Ta sử dụng tính chất của sin:

\[ \sin(2x - \frac{\pi}{2}) = \sin(2x)\cos(\frac{\pi}{2}) - \cos(2x)\sin(\frac{\pi}{2}) = -\cos(2x) = 0 \]

Vì vậy, \( \cos(2x) = 0 \):

\[ 2x = \frac{\pi}{2} + k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} \]

với \( k \in \mathbb{Z} \).

b) \( \sin(\pi - x) - \cos(\frac{\pi}{2} - 2x) = 0 \)

Sử dụng công thức lượng giác:

\[ \sin(\pi - x) = \sin x, \quad \cos(\frac{\pi}{2} - 2x) = \sin(2x) \]

Vậy phương trình trở thành:

\[ \sin x - \sin(2x) = 0 \]

Sử dụng công thức \( \sin(2x) = 2\sin x \cos x \):

\[ \sin x - 2\sin x \cos x = 0 \]

Từ đó ta có:

\[ \sin x(1 - 2\cos x) = 0 \]

Giải từng trường hợp:

1. \( \sin x = 0 \Rightarrow x = k\pi \)
2. \( 1 - 2\cos x = 0 \Rightarrow \cos x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \) hoặc \( x = \frac{5\pi}{3} + 2k\pi \)

Tóm lại, các nghiệm của bài toán là:

- Bài 1a: \( x = k\pi, \frac{7\pi}{6} + 2k\pi, \frac{11\pi}{6} + 2k\pi \)
- Bài 1b: Tìm các nghiệm cụ thể từ các phương trình đã đưa ra.
- Bài 2a: \( x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} \)
- Bài 2b: \( x = k\pi \), \( x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \), \( x = \frac{5\pi}{3} + 2k\pi \)