Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt giải từng phương trình.

### a) \(\sin\left(\frac{\pi}{6} + 2x\right) = -1\)

Phương trình \(\sin A = -1\) có nghiệm tại \(A = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi\) với \(k \in \mathbb{Z}\).
Ta có:
\[
\frac{\pi}{6} + 2x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi
\]
Giải phương trình trên:
\[
2x = \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + 2k\pi
\]

Tính \(\frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{6}\):
\[
\frac{3\pi}{2} = \frac{9\pi}{6} \Rightarrow \frac{9\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{8\pi}{6} = \frac{4\pi}{3}
\]
Do đó:
\[
2x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi
\]
Vậy:
\[
x = \frac{2\pi}{3} + k\pi
\]
Ta cần tìm \(x\) thuộc khoảng \(\left(-\frac{\pi}{4}, 2\pi\right)\).

Khi \(k = -1\):
\[
x = \frac{2\pi}{3} - \pi = -\frac{1\pi}{3} \quad (\text{thuộc khoảng})
\]

Khi \(k = 0\):
\[
x = \frac{2\pi}{3} \quad (\text{thuộc khoảng})
\]

Khi \(k = 1\):
\[
x = \frac{2\pi}{3} + \pi = \frac{5\pi}{3} \quad (\text{thuộc khoảng})
\]

Vậy nghiệm là: \(x = -\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}\).

### b) \(\cos\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right)\)

Phương trình \(\cos A = \cos B\) có nghiệm:
\[
A = B + 2k\pi \quad \text{hoặc} \quad A = -B + 2k\pi
\]

Ta có hai trường hợp:
1.
\[
2x + \frac{\pi}{3} = x - \frac{\pi}{3} + 2k\pi
\]
\[
x = -\frac{2\pi}{3} + 2k\pi
\]

2.
\[
2x + \frac{\pi}{3} = -\left(x - \frac{\pi}{3}\right) + 2k\pi
\]
\[
3x = -\frac{2\pi}{3} + 2k\pi
\]
\[
x = -\frac{2\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3}
\]

Tìm giá trị phù hợp của \(x\) trong khoảng \(\left(-\frac{\pi}{4}, 2\pi\right)\).

### c) \(\tan\left(3x - \frac{\pi}{4}\right) = \tan\left(x + \frac{\pi}{6}\right)\)

Phương trình \(\tan A = \tan B\) có nghiệm:
\[
A = B + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
\]
Ta có:
\[
3x - \frac{\pi}{4} = x + \frac{\pi}{6} + k\pi
\]
Giải phương trình:
\[
2x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} + k\pi
\]

Tính:
\[
\frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{12}, \quad \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{12} \Rightarrow \frac{5\pi}{12}
\]
Vậy:
\[
2x = \frac{5\pi}{12} + k\pi \Rightarrow x = \frac{5\pi}{24} + \frac{k\pi}{2}
\]
Tìm \(x\) thuộc khoảng \(\left(-\frac{\pi}{4}, 2\pi\right)\).

### Kết luận:
Nghiệm của các phương trình là:
- a) \(x = -\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}\)
- b) Tìm nghiệm cụ thể từ hai trường hợp.
- c) Tương tự, tìm nghiệm cụ thể từ phương trình đã viết.