LH Quảng cáo: lazijsc@gmail.com

Bài tập  /  Bài đang cần trả lời

Cho đường tròn (O; R), đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax và lấy trên tiếp tuyến đó một điểm P sao cho AP > R, từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với (O) tại M. 1) Chứng minh rằng A, P, M, O cùng thuộc một đường tròn. 2) Chứng minh BM song song với OP. 3) Đường thẳng vuông góc với AB ở O cắt tia BM tại N. Chứng minh tứ giác OBNP là hình bình hành. 4) Biết AN cắt OP tại K, PM cắt ON tại I; PN và OM kéo dài cắt nhau tại J. Chứng minh I, J, K thẳng hàng.

Cho đường tròn (O; R), đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax và lấy trên tiếp tuyến đó một điểm P sao cho AP > R, từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với (O) tại M.

1) Chứng minh rằng A, P, M, O cùng thuộc một đường tròn.

2) Chứng minh BM song song với OP.

3) Đường thẳng vuông góc với AB ở O cắt tia BM tại N. Chứng minh tứ giác OBNP là hình bình hành.

4) Biết AN cắt OP tại K, PM cắt ON tại I; PN và OM kéo dài cắt nhau tại J. Chứng minh I, J, K thẳng hàng.

1 trả lời
Hỏi chi tiết
9
0
0
Phạm Văn Bắc
11/09 11:21:13

Lời giải

1) Ta có: AP, MP là hai tiếp tuyến của đường tròn (O).

Suy ra \(\widehat {PAO} = 90^\circ \) và \(\widehat {PMO} = 90^\circ \).

Khi đó \(\widehat {PAO} + \widehat {PMO} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \).

Vậy bốn điểm A, P, M, O cùng thuộc đường tròn đường kính PO.

2) Ta có \(\widehat {ABM} = \frac{{\widehat {AOM}}}{2}\) (góc nội tiếp và góc ở tâm).

Mà \(\widehat {AOP} = \frac{{\widehat {AOM}}}{2}\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Suy ra \(\widehat {ABM} = \widehat {AOP}\).

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị.

Vậy BM // OP.

3) Xét ∆AOP và ∆OBN, có:

\(\widehat {PAO} = \widehat {NOB} = 90^\circ \);

AO = OB (= R);

\(\widehat {ABM} = \widehat {AOP}\) (chứng minh trên).

Do đó ∆AOP = ∆OBN (g.c.g).

Suy ra OP = BN (cặp cạnh tương ứng).

Mà BN // OP (chứng minh trên).

Vậy tứ giác OBNP là hình bình hành.

4) Ta có PN // OB (OBNP là hình bình hành).

Suy ra \(\widehat {PNO} = \widehat {NOB} = 90^\circ \) (cặp góc so le trong).

Lại có \(\widehat {PAO} = \widehat {NOA} = 90^\circ \).

Do đó tứ giác AONP là hình chữ nhật.

Suy ra AP // ON.

Khi đó \(\widehat {APO} = \widehat {PON}\) (cặp góc so le trong).

Mà \(\widehat {APO} = \widehat {MPO}\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Suy ra \(\widehat {PON} = \widehat {MPO}\).

Do đó tam giác IPO cân tại I.

Mà K là trung điểm PO (AONP là hình chữ nhật).

Nên IK vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao của tam giác IPO.

Suy ra IK ⊥ PO   (1)

Tam giác POJ có các đường cao PM, ON cắt nhau tại I.

Suy ra I là trực tâm của tam giác POJ.

Do đó IJ ⊥ PO    (2)

Từ (1), (2), suy ra ba điểm I, J, K thẳng hàng.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Mở khóa để xem toàn bộ nội dung trả lời

(?)
Bạn đã đạt đến giới hạn của mình. Bằng cách Đăng ký tài khoản, bạn có thể xem toàn bộ nội dung trả lời
Cải thiện điểm số của bạn bằng cách đăng ký tài khoản Lazi.
Xem toàn bộ các câu trả lời, chat trực tiếp 1:1 với đội ngũ Gia sư Lazi bằng cách Đăng nhập tài khoản ngay bây giờ
Tôi đã có tài khoản? Đăng nhập

Bạn hỏi - Lazi trả lời

Bạn muốn biết điều gì?

GỬI CÂU HỎI
Học tập không giới hạn cùng học sinh cả nước và AI, sôi động, tích cực, trải nghiệm
Bài tập liên quan
Bài tập Toán học Lớp 12 mới nhất

Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi

Vui Buồn Bình thường

Học ngoại ngữ với Flashcard

×
Trợ lý ảo Trợ lý ảo
×
Gia sư Lazi Gia sư