Để giải hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
x + \alpha y = 2 \\
ax - 2y = 1
\end{cases}
\]

với điều kiện \( x > 0 \) và \( y < 0 \), ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Biểu diễn \( x \) theo \( y \)** từ phương trình đầu tiên:

\[
x = 2 - \alpha y
\]

2. **Thay \( x \) vào phương trình thứ hai**:

\[
a(2 - \alpha y) - 2y = 1
\]

Giải phương trình trên:

\[
2a - a\alpha y - 2y = 1
\]

\[
-(a\alpha + 2)y = 1 - 2a
\]

\[
y = \frac{2a - 1}{a\alpha + 2}
\]

3. **Thay \( y \) vào phương trình \( x \)**:

\[
x = 2 - \alpha \cdot \frac{2a - 1}{a\alpha + 2}
\]

4. **Xác định điều kiện** \( x > 0 \) và \( y < 0 \):

- Với \( y < 0 \):

\[
\frac{2a - 1}{a\alpha + 2} < 0
\]

Điều này xảy ra khi \( 2a - 1 < 0 \) và \( a\alpha + 2 > 0 \) hoặc ngược lại.

- Với \( x > 0 \):

Giải bất phương trình từ \( x \), ta sẽ có các điều kiện cho \( a \) và \( \alpha \).

5. **Giải các điều kiện để tìm \( a \) và \( \alpha \)**:

- Xét từng trường hợp và rút ra các giá trị hợp lệ cho \( a \) và \( \alpha \).

Cuối cùng, bạn sẽ có được các giá trị cho \( a \) sao cho hệ phương trình có nghiệm thoả mãn điều kiện đã cho.