Hàng tháng, một người gửi vào ngân hàng một khoản tiền tiết kiệm không đổi a đồng. Giả sử lãi suất hằng tháng là r không đổi và theo thể thức lãi kép (tiền lãi của tháng trước được cộng vào vốn của tháng kế tiếp). Gọi Tn (n ≥ 1) là tổng tiền vốn và lãi của người đó có trong ngân hàng tại thời điểm ngay sau khi gửi vào khoản thứ n + 1.
a) Tính T1, T2, T3.
b) Dự đoán công thức tính Tn và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp toán họcBằng cách nhấp vào Đăng nhập, bạn đồng ý Chính sách bảo mật và Điều khoản sử dụng của chúng tôi. Nếu đây không phải máy tính của bạn, để đảm bảo an toàn, hãy sử dụng Cửa sổ riêng tư (Tab ẩn danh) để đăng nhập (New Private Window / New Incognito Window).
Hướng dẫn giải
a)
– T1 là tổng tiền vốn và lãi của người đó có trong ngân hàng tại thời điểm ngay sau khi gửi vào khoản thứ 2:
T1 = (a + ar) + a = a(1 + r) + a = a[(1 + r) + 1].
– T2 là tổng tiền vốn và lãi của người đó có trong ngân hàng tại thời điểm ngay sau khi gửi vào khoản thứ 3:
T2 = T1 + T1 . r + a
= a[(1 + r) + 1] + a[(1 + r) + 1]r + a
= a[(1 + r) + 1](1 + r) + a
= a(1 + r)2 + a(1 + r) + a
= a[(1 + r)2 + (1 + r) + 1].
– T3 là tổng tiền vốn và lãi của người đó có trong ngân hàng tại thời điểm ngay sau khi gửi vào khoản thứ 4:
T3 = T2 + T2 . r + a
= a[(1 + r)2 + (1 + r) + 1] + a[(1 + r)2 + (1 + r) + 1]r + a
= a[(1 + r)2 + (1 + r) + 1](1 + r) + a
= a(1 + r)3 + a(1 + r)2 + a(1 + r) + a
= a[(1 + r)3 + (1 + r)2 + (1 + r) + 1].
b) Từ câu a) ta có thể dự đoán:
Tn = a[(1 + r)n + ... + (1 + r)2 + (1 + r) + 1]
=a.1−(1+r)n+11−(1+r)=a.1−(1+r)n+1−r=a.(1+r)n+1−1r.Ta chứng minh bằng quy nạp toán học.
Bước 1. Với n = 1 ta có:
T1 = a[(1 + r) + 1]
=a.r2+2rr=a.(r2+2r+1)−1r=a.(1+r)2−1r=a.(1+r)1+1−1r.
Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 1.
Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k ≥ 1, tức là ta có: Tk = a.(1+r)k+1−1r.
Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh: Tk + 1 = a.(1+r)(k+1)+1−1r.
Thật vậy,
Tk + 1 = Tk + Tk . r + a
=a.(1+r)k+1−1r+a.(1+r)k+1−1r.r+a
=a[(1+r)k+1−1r+(1+r)k+1−1r.r+1]
=a[(1+r)k+1−1r+[(1+r)k+1−1]rr+rr]
=a.(1+r)k+1−1+[(1+r)k+1−1]r+rr
=a.(1+r)k+1−1+r(1+r)k+1−r+rr
=a.(1+r)k+1−1+r(1+r)k+1r
=a.(1+r)(1+r)k+1−1r
=a.(1+r)k+2−1r
=a.(1+r)(k+1)+2−1r.Vậy khẳng định đúng với n = k + 1.
Theo nguyên lí quy nạp toán học, khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.
Vậy Tn = a.(1+r)n+1−1r với mọi số tự nhiên n ≥ 1.Tham gia Cộng đồng Lazi trên các mạng xã hội | |
Fanpage: | https://www.fb.com/lazi.vn |
Group: | https://www.fb.com/groups/lazi.vn |
Kênh FB: | https://m.me/j/AbY8WMG2VhCvgIcB |
LaziGo: | https://go.lazi.vn/join/lazigo |
Discord: | https://discord.gg/4vkBe6wJuU |
Youtube: | https://www.youtube.com/@lazi-vn |
Tiktok: | https://www.tiktok.com/@lazi.vn |
Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi
Vui | Buồn | Bình thường |