Điểm N thỏa mãn CN=CA+CB+CI với I là trung điểm AB. Tính độ dài vecto CN

Để giải bài toán, ta cần xác định tọa độ các điểm trong tam giác vuông \( ABC \).

1. **Xác định tọa độ các điểm**:
- Giả sử \( A(0, 0) \), \( B(1, 0) \), và \( C(1, 2) \).

2. **Tính tọa độ trung điểm \( I \) của \( AB \)**:
\[
I\left( \frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2} \right) = \left( \frac{1}{2}, 0 \right)
\]

3. **Tính độ dài các vector**:
- \( \overrightarrow{CA} = A - C = (0, 0) - (1, 2) = (-1, -2) \)
- \( \overrightarrow{CB} = B - C = (1, 0) - (1, 2) = (0, -2) \)
- \( \overrightarrow{CI} = I - C = \left( \frac{1}{2}, 0 \right) - (1, 2) = \left( -\frac{1}{2}, -2 \right) \)

4. **Tính tổng các vector**:
\[
\overrightarrow{CN} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CI} = (-1, -2) + (0, -2) + \left( -\frac{1}{2}, -2 \right)
\]
\[
= \left( -1 - \frac{1}{2}, -2 - 2 - 2 \right) = \left( -\frac{3}{2}, -6 \right)
\]

5. **Tính độ dài của vector \( \overrightarrow{CN} \)**:
\[
|\overrightarrow{CN}| = \sqrt{\left( -\frac{3}{2} \right)^2 + (-6)^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + 36} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{144}{4}} = \sqrt{\frac{153}{4}} = \frac{\sqrt{153}}{2}
\]

Vậy độ dài vector \( \overrightarrow{CN} \) là \( \frac{\sqrt{153}}{2} \).