Bài tập  /  Bài đang cần trả lời

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy AB = 10 cm, cạnh bên SD = 15 cm. Gọi O là giao điểm của AC và BD, M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. a) Chứng minh SO ⊥ MN. Từ đó tính độ dài đường cao SO của hình chóp. b) Tính thể tích của hình chóp. c) Tính diện tích toàn phần của hình chóp.

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy AB = 10 cm, cạnh bên SD = 15 cm. Gọi O là giao điểm của AC và BD, M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD.

a) Chứng minh SO ⊥ MN. Từ đó tính độ dài đường cao SO của hình chóp.

b) Tính thể tích của hình chóp.

c) Tính diện tích toàn phần của hình chóp.

1 trả lời
Hỏi chi tiết
7
0
0
Phạm Minh Trí
13/09 23:07:33

Lời giải

a) Vì các mặt bên của hình chóp tứ giác đều là các tam giác cân bằng nhau nên các đường trung tuyến tương ứng của chúng bằng nhau, tức là SM = SN.

Do đó, tam giác SMN là tam giác cân tại S và O là trung điểm của MN nên SO ⊥ MN.

(Vì M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD trong hình vuông ABCD với O là giao điểm của hai đường chéo nên ta chứng minh được O là trung điểm của MN).

Xét tam giác ABC vuông tại B, áp dụng định lí Pythagore ta có:

AC2 = AB2 + BC2 = 102 + 102 = 200 nên AC = \(10\sqrt 2 \) cm.

Do đó, BD = AC = \(10\sqrt 2 \) cm, suy ra DO = \(\frac{1}{2}\)BD = \(5\sqrt 2 \) cm.

Xét tam giác SOD vuông tại O, áp dụng định lý Pythagore ta có:

DO2 + SO2 = SD2

Suy ra SO2 = SD2 – DO2 = 152 – \({\left( {5\sqrt 2 } \right)^2}\) = 175.

Nên SO = \(\sqrt {175} = 5\sqrt 7 \) cm.

b) Thể tích của hình chóp tứ giác đều S.ABCD là:

\({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot SO \cdot {S_{ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot 5\sqrt 7 \cdot {10^2} = \frac{{500\sqrt 7 }}{3}\) (cm3).

c) Ta có SM là trung tuyến trong tam giác cân SAB nên SM đồng thời là đường cao.

Do đó, SM là một trung đoạn của hình chóp tứ giác đều.

Ta có SA = SD = 15 cm, AM = \(\frac{1}{2}\)AB = 5 cm.

Xét tam giác SMA vuông tại M, áp dụng định lý Pythagore ta có:

SM2 + AM2 = SA2

Do đó, SM2 = SA2 – AM2 = 152 – 52 = 200 nên SM = \(10\sqrt 2 \) cm.

Nửa chu vi đáy ABCD là: p = 10 . 4 : 2 = 20 cm.

Diện tích xung quanh của hình chóp là:

\({S_{xq}} = SM \cdot p = 10\sqrt 2 \cdot 20 = 200\sqrt 2 \) (cm2).

Diện tích đáy ABCD là: SABCD = 102 = 100 (cm2).

Diện tích toàn phần của hình chóp S.ABCD là:

\({S_{tp}} = {S_{xq}} + {S_{ABCD}} = 200\sqrt 2 + 100 = 100\left( {2\sqrt 2 + 1} \right)\) (cm2).

Mở khóa để xem toàn bộ nội dung trả lời

(?)
Bạn đã đạt đến giới hạn của mình. Bằng cách Đăng ký tài khoản, bạn có thể xem toàn bộ nội dung trả lời
Cải thiện điểm số của bạn bằng cách đăng ký tài khoản Lazi.
Xem toàn bộ các câu trả lời, chat trực tiếp 1:1 với đội ngũ Gia sư Lazi bằng cách Đăng nhập tài khoản ngay bây giờ
Tôi đã có tài khoản? Đăng nhập

Bạn hỏi - Lazi trả lời

Bạn muốn biết điều gì?

GỬI CÂU HỎI
Học tập không giới hạn cùng học sinh cả nước và AI, sôi động, tích cực, trải nghiệm
Bài tập liên quan
Bài tập Toán học Lớp 8 mới nhất
Trắc nghiệm Toán học Lớp 8 mới nhất

Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi

Vui Buồn Bình thường

Học ngoại ngữ với Flashcard

×
Trợ lý ảo Trợ lý ảo
×
Gia sư Lazi Gia sư