Để tìm số hạng thứ \( x \) trong các tỉ lệ thức đã cho, ta sẽ giải từng phần một:

### 53. Tìm số hạng thứ \( x \) trong tỉ lệ thức:
a) \( 0.4 : x = 0.9 \)

Ta có:
\[
\frac{0.4}{x} = 0.9
\]
Suy ra:
\[
0.4 = 0.9x \implies x = \frac{0.4}{0.9} = \frac{4}{9} \approx 0.444
\]

b) \( \frac{13}{\frac{1}{3}} : \frac{1}{3} = 26 : (2x - 1) \)

Phân tích tỉ lệ này:
\[
\frac{13}{\frac{1}{3}} = 13 \cdot 3 = 39 \quad và \quad 26 : (2x - 1)
\]
Vậy:
\[
\frac{39}{\frac{1}{3}} = \frac{26}{2x - 1}
\]
Giải phương trình:
\[
39(2x - 1) = 26 \implies 78x - 39 = 26 \implies 78x = 65 \implies x = \frac{65}{78} = \frac{5}{6}
\]

c) \( 0.2 : \frac{1}{5} = (6x + 7) : 1 \)

Giải phương trình:
\[
\frac{0.2}{\frac{1}{5}} = 6x + 7
\]
Suy ra:
\[
0.2 \cdot 5 = 6x + 7 \implies 1 = 6x + 7 \implies 6x = -6 \implies x = -1
\]

d) \( \frac{37}{x + 13} = \frac{3}{7} \)

Giải phương trình:
\[
37 \cdot 7 = 3(x + 13)
\]
Suy ra:
\[
259 = 3x + 39 \implies 3x = 220 \implies x = \frac{220}{3} \approx 73.33
\]

### 54. Cho tỉ lệ thức \( \frac{3x - y}{x + y} = \frac{3}{4} \)
Bằng cách giao hoán ta có:
\[
4(3x - y) = 3(x + y) \implies 12x - 4y = 3x + 3y
\]
Giải phương trình:
\[
12x - 3x = 4y + 3y \implies 9x = 7y \implies \frac{x}{y} = \frac{7}{9}
\]

### 55. Chứng minh tỉ lệ thức
a) Với \( \frac{2a + 3b}{2a - 3b} \)
Bắt đầu từ cả hai tỉ lệ thức ta thấy rằng nếu hai tỉ lệ này tương đương thì:
\[
\frac{2a + 3b}{2a - 3b} = \frac{2c + 3d}{2c - 3d}
\]
Áp dụng tính chất tương đương, hãy nhân chéo và đơn giản hóa.

b) Chứng minh tương tự cho các tỉ lệ thức còn lại bằng cách nhân chéo và sử dụng các định lý liên quan đến tỉ lệ thức.

c) Tương tự, áp dụng tính chất tỉ lệ thức để chứng minh.

### 56. Chứng minh
Ta có tỉ lệ:
\(\frac{a+b}{a-b} = \frac{c+d}{c-d}\)

Áp dụng tính chất tỉ lệ và biến đổi sang dạng khác để chứng minh.

### 57. Tỉ lệ thức:
\(\frac{a+b+c}{a-b-c} = \frac{a-b+c}{a-b-c}\)

Cần chứng minh tỉ lệ thức này là đúng bằng cách nhân chéo và đơn giản hóa.

Nếu cần thêm chi tiết cho từng chứng minh, hãy cho tôi biết nhé!