### Bài 58:

Cho tỉ lệ thức:

\[
\frac{a + b}{b + c} = \frac{c + d}{d + a}
\]

Chứng minh rằng \( a = c \) hoặc \( a + b + c + d = 0 \).

**Chứng minh**:

1. Từ tỉ lệ thức, ta có:
\[
(a + b)(d + a) = (c + d)(b + c)
\]

2. Mở rộng cả hai vế:
\[
ad + a^2 + bd + ab = cb + c^2 + db + dc
\]

3. Sắp xếp lại, ta có:
\[
a^2 + (b - c)d + (a - b)c + ad - cb = 0
\]

4. Từ đó, chúng ta có thể rút gọn thành:
\[
(a - c)(a + b + c + d) = 0
\]

5. Kết luận:
\[
a = c \quad \text{hoặc} \quad a + b + c + d = 0
\]

---

### Bài 59:

Có thể lập được tỉ lệ thức từ bốn số sau không (mỗi số chỉ chọn một lần)?

Các số:

- a) 3, 4, 5, 6, 7
- b) 1, 2, 4, 8, 16
- c) 1, 3, 9, 27, 81, 243

**Giải**:

- Để lập được tỉ lệ thức, cần có điều kiện:
\[
\frac{a}{b} = \frac{c}{d}
\]
hay \( ad = bc \).

- **a)**: Kiểm tra các nhóm số 3, 4, 5, 6 và 7, rất khó để tìm các số bằng nhau, ít khả năng có tỉ lệ thức.

- **b)**: Với các số 1, 2, 4, 8, 16, đây là cấp số nhân với tỷ lệ 2, có khả năng lập được nhiều tỉ lệ thức.

- **c)**: Với các số 1, 3, 9, 27, 81, 243, cũng là cấp số nhân với tỷ lệ 3, cũng lập được nhiều tỉ lệ thức.

**Kết luận**:
- Chỉ **b** và **c** có thể lập được tỉ lệ thức.

---

### Bài 60:

Cho bốn số 2, 4, 8, 16.

**Tìm số hữu tỉ \( x \)** cùng với ba số trên lập được thành một tỉ lệ thức.

Giả sử lập tỉ lệ thức như sau:

\[
\frac{2}{4} = \frac{8}{x} = \frac{16}{k}
\]

Từ tỉ lệ \( \frac{2}{4} = \frac{8}{x} \):

\[
2x = 4 \cdot 8 \Rightarrow x = 16
\]

Tiếp tục với \( \frac{8}{x} \) và gần nhóm số 16, sẽ là:

**Kết luận**:
- Số hữu tỉ \( x \) có thể là 8 hoặc 16.