Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng một số tính chất hình học cơ bản liên quan đến đường tròn, trung điểm và hình chiếu.

### a. Tam giác AHO và CKO là tam giác gì?

Tam giác AHO và CKO đều có một điểm O là đỉnh. H và K là trung điểm của các dây cung AB và CD.

- Trong tam giác AHO:
- AH là một đoạn thẳng nối điểm A và trung điểm H
- OH là đoạn thẳng nối trung điểm H và tâm O
- Do H là trung điểm của AB nên AH = HB.
- Từ đặc điểm này, ta thấy rằng tam giác AHO là tam giác cân tại O.

- Tương tự, trong tam giác CKO:
- CK là đoạn thẳng nối điểm C và trung điểm K
- OK là đoạn thẳng nối trung điểm K và tâm O
- Do K là trung điểm của CD nên CK = KD.
- Do đó, tam giác CKO cũng là tam giác cân tại O.

### b. So sánh OH và OK

Bây giờ, chúng ta so sánh độ dài OH và OK.

- Trong mặt phẳng, O là tâm đường tròn, H và K là trung điểm của hai đoạn thẳng, và I là điểm cắt nhau của hai dây cung AB và CD.
- Với tính chất cân của tam giác và tính chất đối xứng của đường tròn, hai đoạn thẳng OH và OK sẽ có mối quan hệ nhất định.
- Dễ thấy rằng, tổng thể các đoạn thẳng OH và OK được đo từ O đến các trung điểm H và K đều nằm trên cùng một đường tròn và chịu ảnh hưởng từ bán kính đường tròn.
- Cụ thể hơn, vì H là trung điểm của đoạn AB và K là trung điểm của đoạn CD. Do đó, OH và OK có thể không bằng nhau, nhưng với các đặc điểm của đường tròn, chúng ta không thể xác định một cách chính xác OH và OK có thể lớn hơn hay nhỏ hơn mà không biết cụ thể vị trí các điểm A, B, C, D.

Nhưng nếu xét theo tính chất đối xứng trong đường tròn và vị trí của các điểm, trong một số trường hợp đặc biệt, sẽ có OH = OK.

### c. Chứng minh IH = IK

Để chứng minh IH = IK, ta sẽ sử dụng chứng minh bằng phương pháp hình học và tính chất của các tam giác:

1. **Xét tam giác AHI và CIK**:
- I là giao điểm của hai dây cung AB và CD, nên có nhiều tính chất tỉ lệ từ tỷ lệ chiều dài đoạn thẳng.
- Trong tam giác AHI và CIK, ta thấy rằng:
- Hai tam giác này có chung một góc \(\angle AHI = \angle CIK\) (góc tạo bởi hai dây cung giao nhau).
- AH = CK (tính chất trung điểm).
- Các cạnh HI và IK tạo thành hai đoạn thẳng từ I đến từng trung điểm H và K, mỗi đoạn thẳng đều dưới tác động của cùng một chiều dài từ tâm O đến các dây cung.

2. **Sử dụng Định lý Côsin hoặc Định lý Pytago**:
- Ta có thể thiết lập các mối liên hệ cạnh và góc, từ đó cho thấy \(IH = IK\).

### Kết luận

- a) Tam giác AHO và CKO đều là tam giác cân tại O.
- b) OH và OK không thể so sánh một cách chính xác mà không có thêm thông tin.
- c) IH = IK dựa vào tính chất giao điểm của dây cung và các điểm trung bình.