Để tìm các giá trị của tham số \(m\) để cặp số \((-2; 1)\) là nghiệm của hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
2mx + y = m \\
-m y = 1 - 6m
\end{cases}
\]

Ta sẽ thay \(x = -2\) và \(y = 1\) vào từng phương trình.

1. **Phương trình đầu tiên:**
\[
2m(-2) + 1 = m
\]
\[
-4m + 1 = m
\]
\[
1 = 5m \implies m = \frac{1}{5}
\]

2. **Phương trình thứ hai:**
\[
-m(1) = 1 - 6m
\]
\[
-m = 1 - 6m
\]
\[
5m = 1 \implies m = \frac{1}{5}
\]

Từ cả hai phương trình, ta thấy rằng giá trị của \(m\) phải là \(\frac{1}{5}\) để cặp số \((-2; 1)\) là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Vậy giá trị của \(m\) là:
\[
\boxed{\frac{1}{5}}
\]