Cho ba số hữu tỉ \( a, b, c \) thỏa mãn \( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{c} \). Chứng minh \( A = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \) là một số hữu tỉ

Để chứng minh rằng \( A = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \) là một số hữu tỉ với giả thuyết \( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{c} \), chúng ta tiến hành như sau.

### Bước 1: Phân tích điều kiện đã cho

Từ điều kiện \( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{c} \), ta có:

\[
\frac{b + a}{ab} = \frac{1}{c}
\]

Suy ra:

\[
c = \frac{ab}{a + b}
\]

### Bước 2: Tính \( A^2 \)

Ta có:

\[
A^2 = a^2 + b^2 + c^2
\]

Thay giá trị của \( c \):

\[
A^2 = a^2 + b^2 + \left( \frac{ab}{a+b} \right)^2
\]

Tính giá trị \( c^2 \):

\[
c^2 = \frac{a^2b^2}{(a+b)^2}
\]

### Bước 3: Biến đổi \( A^2 \)

Bây giờ ta thay vào công thức:

\[
A^2 = a^2 + b^2 + \frac{a^2b^2}{(a+b)^2}
\]

Đưa các thành phần chung về mẫu số:

\[
A^2 = \frac{a^2(a+b)^2 + b^2(a+b)^2 + a^2b^2}{(a+b)^2}
\]

### Bước 4: Tìm số hữu tỉ

Nguyên mẫu số là \( (a+b)^2 \), còn tử số:

\[
a^2(a+b)^2 + b^2(a+b)^2 + a^2b^2 = a^4 + 2a^3b + a^2b^2 + b^4 + 2ab^3 + a^2b^2
\]

Tử số này là một đa thức bậc 4 đối với \( a \) và \( b \), và vì \( a \), \( b \) hữu tỉ, nên tử số cũng hữu tỉ.

### Kết luận

Vì cả tử số và mẫu số đều là hữu tỉ, thì \( A^2 \) là một số hữu tỉ. Từ đó suy ra rằng \( A \) cũng là một số hữu tỉ.

Vậy, \( A = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \) là một số hữu tỉ. Chúng ta đã hoàn thành chứng minh.