Biểu thức \( A = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{2021} \) là một chuỗi số học của cấp số nhân. Để tính tổng của chuỗi này, chúng ta có thể sử dụng công thức tổng của cấp số nhân.

Công thức tổng của một chuỗi số học cấp số nhân có dạng:

\[
S_n = a \frac{1 - r^n}{1 - r}
\]

Trong đó:
- \( a \) là số hạng đầu tiên
- \( r \) là tỷ số
- \( n \) là số hạng

Trong trường hợp của chúng ta:
- \( a = 1 \) (số hạng đầu tiên)
- \( r = 2 \) (tỷ số)
- Số hạng cuối là \( 2^{2021} \) nên số hạng \( n = 2021 + 1 = 2022 \) (tóm lại từ \( 2^0 \) đến \( 2^{2021} \) có \( 2022 \) số hạng)

Áp dụng công thức vào biểu thức trên:

\[
A = 1 \cdot \frac{1 - 2^{2022}}{1 - 2} = \frac{1 - 2^{2022}}{-1} = 2^{2022} - 1
\]

Vậy kết quả cuối cùng là:

\[
A = 2^{2022} - 1
\]