Một xe chuyển động trên quãng đường AB dài 120km theo quy luật như sau: cứ 15 phút lại nghỉ 5 phút, 15 phút đầu xe đi với vận tốc v1=10km/h, 15 phút thứ 2 xe đi với vận tốc 2v1, 15 phút thứ 3 xe đi vs vận tốc 3v1 và cứ thế tới B

Để giải bài toán này, ta sẽ đầu tiên tính quãng đường mà xe đi được trong mỗi khoảng thời gian 15 phút, sau đó tính thời gian tổng cộng mà xe cần để đi hết quãng đường 120 km, bao gồm cả thời gian nghỉ.

**Bước 1: Tính quãng đường đi được trong mỗi 15 phút.**

- Vận tốc trong 15 phút đầu: \(v_1 = 10 \text{ km/h}\)
- Quãng đường: \(d_1 = v_1 \cdot \frac{15}{60} = 10 \cdot \frac{1}{4} = 2.5 \text{ km}\)

- Vận tốc trong 15 phút thứ hai: \(v_2 = 2v_1 = 20 \text{ km/h}\)
- Quãng đường: \(d_2 = v_2 \cdot \frac{15}{60} = 20 \cdot \frac{1}{4} = 5 \text{ km}\)

- Vận tốc trong 15 phút thứ ba: \(v_3 = 3v_1 = 30 \text{ km/h}\)
- Quãng đường: \(d_3 = v_3 \cdot \frac{15}{60} = 30 \cdot \frac{1}{4} = 7.5 \text{ km}\)

Tương tự, ta thấy rằng:
- Vận tốc trong 15 phút thứ n là \(nv_1\).
- Quãng đường đi được trong 15 phút thứ n là \(d_n = nv_1 \cdot \frac{15}{60} = n \cdot 2.5 \text{ km}\).

**Bước 2: Tổng quãng đường đi được sau n khoảng thời gian 15 phút.**

Tổng quãng đường đi được sau n khoảng là:
\[
D_n = d_1 + d_2 + d_3 + ... + d_n = 2.5(1 + 2 + 3 + ... + n) = 2.5 \cdot \frac{n(n + 1)}{2}
\]

**Bước 3: Tính n để tổng quãng đường đạt 120 km.**

Ta có:
\[
D_n = 120 \implies 2.5 \cdot \frac{n(n + 1)}{2} = 120 \implies n(n + 1) = \frac{120 \cdot 2}{2.5} = 96
\]
Giải phương trình bậc hai:
\[
n^2 + n - 96 = 0
\]
Áp dụng công thức nghiệm:
\[
n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 384}}{2} = \frac{-1 \pm 19}{2}
\]
Ta có hai nghiệm:
\[
n = 9 \quad (n = -10 \text{ là nghiệm không hợp lệ})
\]

**Bước 4: Tính thời gian đi và thời gian nghỉ.**

- Thời gian đi: \(15n = 15 \cdot 9 = 135 \text{ phút}\)
- Thời gian nghỉ: Số lần nghỉ = 9, mỗi lần nghỉ 5 phút \( \implies 5 \cdot 8 = 40 \text{ phút}\)

**Bước 5: Tổng thời gian.**

Tổng thời gian tổng cộng là:
\[
135 + 40 = 175 \text{ phút}.
\]

Vậy tổng thời gian để xe đi hết quãng đường 120 km là 175 phút.