Để giải quyết các yêu cầu này, chúng ta sẽ bắt đầu từ hình vẽ của tam giác vuông \( ABC \) với \( A \) là điểm vuông góc, và các điểm liên quan.

**a) Chứng minh rằng \( AMCK \) là hình thoi:**

1. **Chứng minh rằng \( AM = CK \):**
- \( M \) là trung điểm của \( BC \), nên \( AM \) là một đường trung tuyến trong tam giác.
- Ta sẽ chứng minh \( IK = IM \):
- Theo giả thiết, \( IK = IM \).
- Do đó, \( K \) nằm trên đường thẳng đối diện với tia \( IM \), và \( I \) là trung điểm của \( AC \).
- Khi đó \( CK = IM = AM \) (do tính chất của trung tuyến), suy ra \( AM = CK \).

2. **Chứng minh rằng \( AK = CM \):**
- \( A \) và \( K \) đều nằm trên một đường thẳng vuông góc với\( AC \), với \( I \) là trung điểm của \( AC \).
- Suy ra \( AK = IM \) như trên.

3. **Từ \( AM = CK \) và \( AK = CM \), chúng ta có hai cặp cạnh đối diện bằng nhau.**
- Lại, ta có \( \angle AMK = \angle CMK = 90^\circ \) do tính chất vuông góc của tam giác.
- Vậy \( AMCK \) là hình thoi.

**b) Chứng minh rằng \( AKMB \) là hình bình hành:**

1. **Chứng minh rằng \( AK \parallel MB \):**
- Vì \( M \) là trung điểm của \( BC \), nên \( MB \) và \( AK \) đều song song do chiều cao từ \( A \) và trung bình của \( MB \) đều song song với nhau.

2. **Chứng minh rằng \( AM = BK \):**
- Tương tự như trên, khi đã chỉ ra rằng \( AM \) và \( BK \) có độ dài bằng nhau.

3. **Vì vậy, từ 2 tính chất trên, ta có thể kết luận rằng \( AKMB \) là hình bình hành.**

**c) Tìm điều kiện của tam giác \( ABC \) để tứ giác \( AMCK \) là hình vuông:**

- Để \( AMCK \) là hình vuông, tất cả các cạnh phải bằng nhau và các góc phải bằng \( 90^\circ \).

1. \( AM \) bằng độ dài cạnh \( AC \)(giả sử \( AC = b \)). Điều này chỉ xảy ra khi tam giác \( ABC \) là một tam giác vuông đều, tức \( AB = AC \).

2. Góc \( AMK \) cần phải là \( 90^\circ \): Từ cấu trúc của hình và đặc điểm vuông của tam giác, cần nắm rõ rằng \( I \) là trung điểm nên đường thẳng đi qua \( A \) và \( K \) phải cân bằng với các đường từ \( I \) đến \( C \).

3. Kết hợp lại, điều kiện sẽ là: \( AB = AC \) và tam giác là cân, từ đó tứ giác \( AMCK \) sẽ là hình vuông.

Tóm lại: khi tam giác \( ABC \) là tam giác vuông cân tại \( A \), thì tứ giác \( AMCK \) sẽ là hình vuông.