Chứng minh rằng tích của số liền trước và số liền sau một số nguyên tố lớn hơn 3 chia hết cho 24

Để chứng minh rằng tích của số liền trước và số liền sau một số nguyên tố lớn hơn 3 chia hết cho 24, ta gọi số nguyên tố đó là \( p \). Số liền trước \( p \) là \( p-1 \) và số liền sau là \( p+1 \).

Ta có:

\[
(p-1)(p+1) = p^2 - 1
\]

Vì \( p \) là một số nguyên tố lớn hơn 3, nó luôn có dạng \( 6k \pm 1 \) (k với k là một số nguyên), tức là \( p \) sẽ không thể chia hết cho 2 hay 3. Do đó, \( p-1 \) và \( p+1 \) sẽ là hai số liên tiếp có một số chẵn và một số lẻ.

### 1. Tính chia hết cho 8:

Hai số \( p-1 \) và \( p+1 \) là hai số chẵn liên tiếp. Một trong hai số này sẽ chia hết cho 2, và số còn lại sẽ chia hết cho 4. Từ đó:

- \( p-1 \) chia hết cho 2 và \( p+1 \) chia hết cho 4, hoặc
- \( p-1 \) chia hết cho 4 và \( p+1 \) chia hết cho 2.

Trong cả hai trường hợp, tích \( (p-1)(p+1) \) sẽ được chia hết cho \( 8 \) (vì 2 x 4 = 8).

### 2. Tính chia hết cho 3:

Do \( p \) là số nguyên tố lớn hơn 3, \( p \) không thể chia hết cho 3, do đó một trong hai số \( p-1 \) hoặc \( p+1 \) sẽ chia hết cho 3. Kết luận rằng:

- Nếu \( p \equiv 1 \mod 3 \), thì \( p-1 \equiv 0 \mod 3 \)
- Nếu \( p \equiv 2 \mod 3 \), thì \( p+1 \equiv 0 \mod 3 \)

### 3. Kết luận:

Vậy, từ 1 và 2 ta có:
- \( (p-1)(p+1) \) luôn chia hết cho \( 8 \)
- \( (p-1)(p+1) \) luôn chia hết cho \( 3 \)

Do đó, kết hợp lại ta thấy \( (p-1)(p+1) = p^2 - 1 \) chia hết cho:

\[
24 = 8 \times 3
\]

Vì \( (p-1)(p+1) \) chia hết cho 8 và 3, nên tích của số liền trước và số liền sau một số nguyên tố lớn hơn 3 chia hết cho 24.

Chúng ta đã chứng minh xong.