Để chứng minh MNPQ là hình bình hành cho tứ giác HBH với các đường chéo AC và BC cắt nhau tại O, ta sẽ thực hiện theo từng phần.

### a) Chứng minh MNPQ là hình bình hành

1. **Xét tính chất của các đoạn thẳng:**
- Do O là điểm cắt của AC và BC, ta có:
- OA = OC
- OB = OD
- Đường thẳng m (cắt AB tại M và CD tại P) chia các đoạn AB và CD thành các đoạn tỉ lệ với nhau.

2. **Xét góc:**
- Vì n vuông góc với m tại O, ta có:
- ∠NOM = ∠POQ = 90°
- Do đó, ta có hai cặp góc đối xứng tại O là góc tương ứng giữa đường thẳng m và n.

3. **Xét độ dài:**
- Do xếp đặt của các đoạn thẳng và các góc, ta dễ dàng nhận thấy rằng:
- MN và PQ song song (cùng cách tạo với m),
- MP và NQ song song (cùng cách tạo với n).

4. **Kết luận:**
- Vậy MNPQ có hai cặp cạnh đối diện song song, điều này đủ để chứng minh rằng MNPQ là hình bình hành.

### b) Chứng minh MNPQ là hình thoi

1. **Xét độ dài các cạnh:**
- Để chứng minh MNPQ là hình thoi, ta cần chứng minh rằng bốn cạnh MN, NP, PQ, MQ đều bằng nhau.
- Vì MNPQ là hình bình hành, ta đã biết rằng MN và PQ là hai cặp cạnh đối diện, còn MP và NQ cũng vậy.

2. **Sử dụng tam giác vuông:**
- Xét tam giác OMN và OPQ:
- Ta có OM = OP (do đường thẳng m)
- ON = OQ (do đường thẳng n)
- Điều này ghi nhận rằng OM và ON là độ dài bằng nhau.

3. **Kết hợp các yếu tố:**
- Từ các yếu tố trên, chúng ta có:
- MN = MP = PQ = MQ => MNPQ là hình thoi.

4. **Kết luận:**
- Vì MNPQ là hình bình hành có các cạnh bằng nhau, suy ra MNPQ là hình thoi.

Vậy ta đã chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình bình hành và hình thoi.