Để tìm tất cả các số tự nhiên \( n \) sao cho \( 2^n - 15 \) là bình phương của một số tự nhiên, ta đặt \( 2^n - 15 = k^2 \) với \( k \) là một số tự nhiên. Như vậy, ta có:

\[
2^n = k^2 + 15
\]

Điều này có nghĩa là \( k^2 + 15 \) phải là một số lũy thừa của 2. Ta sẽ kiểm tra một số giá trị của \( n \):

1. **Khi \( n = 0 \)**:
\[
2^0 - 15 = 1 - 15 = -14 \quad (\text{không phải bình phương})
\]

2. **Khi \( n = 1 \)**:
\[
2^1 - 15 = 2 - 15 = -13 \quad (\text{không phải bình phương})
\]

3. **Khi \( n = 2 \)**:
\[
2^2 - 15 = 4 - 15 = -11 \quad (\text{không phải bình phương})
\]

4. **Khi \( n = 3 \)**:
\[
2^3 - 15 = 8 - 15 = -7 \quad (\text{không phải bình phương})
\]

5. **Khi \( n = 4 \)**:
\[
2^4 - 15 = 16 - 15 = 1 = 1^2 \quad (\text{là bình phương})
\]

6. **Khi \( n = 5 \)**:
\[
2^5 - 15 = 32 - 15 = 17 \quad (\text{không phải bình phương})
\]

7. **Khi \( n = 6 \)**:
\[
2^6 - 15 = 64 - 15 = 49 = 7^2 \quad (\text{là bình phương})
\]

8. **Khi \( n = 7 \)**:
\[
2^7 - 15 = 128 - 15 = 113 \quad (\text{không phải bình phương})
\]

9. **Khi \( n = 8 \)**:
\[
2^8 - 15 = 256 - 15 = 241 \quad (\text{không phải bình phương})
\]

10. **Khi \( n = 9 \)**:
\[
2^9 - 15 = 512 - 15 = 497 \quad (\text{không phải bình phương})
\]

...

Chúng ta có thể nhận thấy rằng khi \( n \) tăng lên, \( 2^n - 15 \) cũng tăng rất nhanh và thường không trở thành bình phương. Một cách tổng quát hơn, ta có thể phân tích phương trình \( k^2 + 15 = 2^n \) và nhận thấy rằng \( k^2 \) là một số chẵn nếu \( n \geq 3 \) (vì \( 2^n \) là chẵn với \( n \geq 1 \)). Điều này dẫn đến rằng \( k \) phải là một số lẻ.

Tiếp tục kiểm tra với một số giá trị lớn hơn nếu cần, nhưng có thể nhận thấy rằng:

**Kết luận**: Các giá trị \( n \) sao cho \( 2^n - 15 \) là bình phương của một số tự nhiên là \( n = 4 \) và \( n = 6 \).