Để giải các bài toán đã nêu, chúng ta sẽ bắt đầu từ hình thoi và hình thang.

### Bài 1: Hình thoi ABCD

**a) Chứng minh AE = AF**

Trong hình thoi ABCD:
- Các cạnh của hình thoi đều bằng nhau: \(AB = BC = CD = DA\).
- Đường chéo AC và BD cắt nhau tại điểm O, và O là trung điểm của mỗi đường chéo.

Do AE và AF là hai perpendicular từ A đến hai cạnh DC và BC, ta có:
- Triangle AOD và triangle AOC là hai tam giác vuông.
- Trong hai tam giác này, ta có AO là cạnh chung.
- DO và CO cũng bằng nhau vì O là trung điểm của đường chéo AC.

Suy ra theo định lý Pytago:
\[ AE^2 + OE^2 = AO^2 \]
\[ AF^2 + OF^2 = AO^2 \]

Vì OE = OF nên dễ dàng suy ra rằng:
\[ AE^2 = AF^2 \]
=> \( AE = AF \)

**b) Chứng minh tam giác AEF đều**

Để chứng minh tam giác AEF đều, ta cần chứng minh:
1. AE = AF (đã được chứng minh ở trên).
2. Angle AEF = Angle AFE = 60°.

Vì AE ⊥ DC và AF ⊥ BC, nên chúng ta có các góc:
- Angle AEF = Angle AFE = 90° - góc bên trong của hình thoi.

Ngoài ra trong hình thoi, các nội góc quanh điểm A sẽ chia đều, suy ra:
- \( AE = AF \) và \( Angle AEF + Angle AFE + Angle EDF = 180° \).

Ta có thể kết luận tam giác AEF đều.

---

### Bài 2: Hình thang ABCD

**a) Chứng minh tứ giác MPNQ là hình bình hành**

Giả sử M, N là trung điểm của cạnh AB và CD, P, Q là trung điểm của cạnh AD và BC.
- Vì AB // CD, nên MN // PQ.
- M và N đều là trung điểm, nên MP // QN và MP = QN.

Vậy tứ giác MPNQ là hình bình hành theo định nghĩa.

**b) Điều kiện để tứ giác MPNQ là hình thoi**

Để MPNQ là hình thoi thì diện tích 2 cạnh của tứ giác này phải bằng nhau. Đó là:
- MP = MN và PQ = QN (hoặc tứ giác này phải có ít nhất một cặp cạnh đối diện bằng nhau).

---

### Bài 3: Tam giác ABC cân tại A

**a) Tứ giác APMQ là hình gì? Vì sao?**

Vì M là trung điểm của AB, kẻ đường thẳng PM song song với AB và cắt AC tại Q.
Do đó, chúng ta có:
- AP // MQ và MP // AQ.
- Tôi có thể khẳng định là tứ giác APMQ là hình bình hành, vì hai cặp cạnh đối diện song song.

**b) Chứng minh PQ // BC**

Dễ thấy từ định lý đường chéo:
- AQ // PM, có nghĩa là PQ cũng phải song song với BC do PQ cũng phản ánh mối quan hệ của các đoạn thẳng này.

Vì vậy, chúng ta có \( PQ // BC \).

---

Tóm lại, qua từng bài tập, chúng ta đã chứng minh được các điều cần thiết cho hình thoi ABCD, hình thang ABCD, và tam giác ABC.