Để tính bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp của tam giác ABC có các cạnh lần lượt là \( a = BC = 21 \, \text{cm} \), \( b = AC = 17 \, \text{cm} \), \( c = AB = 10 \, \text{cm} \), ta cần tính một số thông số sau:

1. **Tính chu vi (P) và bán kính r của đường tròn nội tiếp:**

\[
P = a + b + c = 21 + 17 + 10 = 48 \, \text{cm}
\]

Diện tích (S) của tam giác có thể được tính bằng công thức Heron:

\[
s = \frac{P}{2} = \frac{48}{2} = 24 \, \text{cm}
\]

\[
S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{24 \times (24 - 21) \times (24 - 17) \times (24 - 10)}
\]

Tính từng phần:

\[
= \sqrt{24 \times 3 \times 7 \times 14}
\]

\[
= \sqrt{7056} = 84 \, \text{cm}^2
\]

Bán kính r của đường tròn nội tiếp được tính bằng công thức:

\[
r = \frac{S}{s} = \frac{84}{24} = 3.5 \, \text{cm}
\]

2. **Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp:**

Sử dụng công thức:

\[
R = \frac{abc}{4S}
\]

Thay giá trị vào:

\[
R = \frac{21 \times 17 \times 10}{4 \times 84}
\]

Tính từng phần:

\[
R = \frac{3570}{336} \approx 10.625 \, \text{cm}
\]

Vậy bán kính đường tròn nội tiếp \( r \) là \( 3.5 \, \text{cm} \) và bán kính đường tròn ngoại tiếp \( R \) là \( 10.625 \, \text{cm} \).