Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn |X1| + |X2| = 7

Để là một phương trình bậc 2 của dạng \( ax^2 + bx + c = 0 \) có hai nghiệm phân biệt, điều kiện cần thiết là:

1. Định thức (delta) phải lớn hơn 0: \( \Delta = b^2 - 4ac > 0 \).

Trong trường hợp này, phương trình cho trước là \( x^2 - 2(m-2)x - 5 = 0 \). Ta có:

- \( a = 1 \)
- \( b = -2(m-2) \)
- \( c = -5 \)

Tính định thức \(\Delta\):

\[
\Delta = (-2(m-2))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5)
\]
\[
= 4(m-2)^2 + 20
\]

Ta cần \(\Delta > 0\):

\[
4(m-2)^2 + 20 > 0
\]

Điều này luôn luôn đúng với mọi giá trị của \( m \) vì \( 4(m-2)^2 \geq 0 \) và \( 20 > 0 \). Do đó, điều kiện này không giới hạn giá trị của \( m \).

Tiếp theo, ta xét điều kiện \( |X_1| + |X_2| = 7 \). Áp dụng công thức:

- Tổng nghiệm \( X_1 + X_2 = -\frac{b}{a} = 2(m-2) \)
- Tích nghiệm \( X_1 \cdot X_2 = \frac{c}{a} = -5 \)

Gọi \( S = X_1 + X_2 = 2(m-2) \) và \( P = X_1 \cdot X_2 = -5 \).

Theo bất đẳng thức Cauchy thì:

\[
|X_1| + |X_2| \geq \frac{(X_1 + X_2)^2}{2}
\]

Áp dụng vào bài toán này, ta có:

\[
|X_1| + |X_2| = 7
\]

Dễ dàng chỉ ra rằng:

\[
7 = |X_1| + |X_2| \geq \sqrt{(X_1 + X_2)^2} = \sqrt{S^2} = |S|
\]

Do đó, ta có:

\[
|S| \leq 7
\]

Từ \( S = 2(m - 2) \), ta có:

\[
|2(m - 2)| \leq 7
\]

Giải bất đẳng thức này:

\[
-7 \leq 2(m - 2) \leq 7
\]

Chia cho 2:

\[
-\frac{7}{2} \leq m - 2 \leq \frac{7}{2}
\]

Cuối cùng, cộng 2 cho tất cả các phần:

\[
2 - \frac{7}{2} \leq m \leq 2 + \frac{7}{2}
\]

Tính toán:

\[
-\frac{3}{2} \leq m \leq \frac{11}{2}
\]

Vậy giá trị của \( m \) để phương trình có hai nghiệm phân biệt và thỏa mãn điều kiện \( |X_1| + |X_2| = 7 \) là:

\[
m \in \left[-\frac{3}{2}, \frac{11}{2}\right]
\]