Cho đường tròn \((O; R)\). Từ 1 điểm \(A\) cách \(O\) là \(2R\), vẽ tiếp tuyến \(AD; AE\) với \((O)\). Trên cung nhỏ \(DE\) lấy điểm \(F\). Qua \(F\) vẽ tiếp tuyến thứ ba với đường tròn cắt \(AD; AE\) lần lượt tại \(M\) và \(N\). Qua \(O\) vẽ đường thẳng vuông góc với \(OA\) cắt \(AD; AE\) tại \(B\) và \(C\)

Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu.

### a) Chứng minh \( \angle ABC = \angle ACB = \angle MON \)

1. **Chứng minh \( \angle ABC = \angle ACB \)**:
- Trong tam giác \( ABC \), do đường thẳng \( OC \) vuông góc với \( OA \) nên \( OC \) là đường trung trực của đoạn thẳng \( AB \).
- Do đó, ta có \( AB = AC \). Từ đó, suy ra \( \angle ABC = \angle ACB \).

2. **Chứng minh \( \angle ABC = \angle MON \)**:
- Ta biết rằng \( AD \) và \( AE \) là các tiếp tuyến của đường tròn tại \( D \) và \( E \).
- Do \( F \) nằm trên cung nhỏ \( DE \), nên góc \( \angle AFE \) là góc nội tiếp trong đường tròn và nó sẽ bằng một nửa góc ở tâm \( O \) tạo bởi đoạn thẳng \( OD \) và \( OE \).
- Tương tự, góc \( \angle MON \) cũng là góc nội tiếp trong đường tròn tâm \( O \).
- Do đó, \( \angle ABC = \angle MON \).

### c) Xác định vị trí của điểm \( F \) để \( BM + CN \) nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

Để \( BM + CN \) nhỏ nhất, ta có thể sử dụng tính chất của đoạn thẳng vuông góc và phản xạ:

1. **Phản xạ**:
- Ta thực hiện phép phản xạ điểm \( M \) qua đường thẳng \( OC \) để được điểm \( M' \).
- Khoảng cách \( BM + CN \) sẽ nhỏ nhất khi điểm \( F \) nằm trên đoạn thẳng nối từ \( M' \) đến \( N \), vì từ tính chất phản xạ, ta sẽ có \( BM + CN = M'F + FN \).

2. **Tìm trường hợp tối ưu**:
- Để xác định vị trí \( F \), ta cần \( F \) lie trên đoạn thẳng \( M'N \) và khoảng cách này sẽ được tối ưu khi \( F \) là giao điểm của đường thẳng đó với cung tròn \( DE \).

Tóm lại, ta cần xác định vị trí của \( F \) sao cho nó nằm trên đoạn thẳng nối giữa \( M' \) và \( N \), và giá trị nhỏ nhất của \( BM + CN \) sẽ được tính bằng cách đo chiều dài đoạn thẳng này tại vị trí tối ưu của \( F \).