Để viết phương trình vận tốc và gia tốc của vật dao động điều hòa với phương trình \[ x = 2 \cos\left(\pi t + \frac{\pi}{6}\right) \text{ cm} \], ta có thể làm như sau:

### a) Viết phương trình vận tốc và gia tốc

**1. Phương trình vận tốc:**

Vận tốc \( v \) được tính bằng đạo hàm của vị trí \( x \) theo thời gian \( t \):

\[
v(t) = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} \left[ 2 \cos\left(\pi t + \frac{\pi}{6}\right) \right]
\]

Sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm cos, ta có:

\[
v(t) = -2 \pi \sin\left(\pi t + \frac{\pi}{6}\right)
\]

**2. Phương trình gia tốc:**

Gia tốc \( a \) được tính bằng đạo hàm của vận tốc \( v \) theo thời gian \( t \):

\[
a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt} \left[ -2 \pi \sin\left(\pi t + \frac{\pi}{6}\right) \right]
\]

Sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm sin, ta có:

\[
a(t) = -2 \pi^2 \cos\left(\pi t + \frac{\pi}{6}\right)
\]

### b) Xác định vận tốc, gia tốc của vật ở thời điểm \( t = 0.5 \, s \)

**1. Tính vận tốc tại \( t = 0.5 \, s \)**

\[
v(0.5) = -2 \pi \sin\left(\pi \cdot 0.5 + \frac{\pi}{6}\right) = -2 \pi \sin\left(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}\right)
\]

Tính sin:

\[
\sin\left(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]

Vậy:

\[
v(0.5) = -2 \pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\pi \sqrt{3} \text{ cm/s}
\]

**2. Tính gia tốc tại \( t = 0.5 \, s \)**

\[
a(0.5) = -2 \pi^2 \cos\left(\pi \cdot 0.5 + \frac{\pi}{6}\right) = -2 \pi^2 \cos\left(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}\right)
\]

Tính cos:

\[
\cos\left(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}
\]

Vậy:

\[
a(0.5) = -2 \pi^2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = \pi^2 \text{ cm/s}^2
\]

### c) Tính tốc độ cực đại, gia tốc cực đại của vật

- Tốc độ cực đại \( v_{\text{max}} \) là giá trị tuyệt đối lớn nhất của vận tốc:

\[
v_{\text{max}} = 2\pi \text{ cm/s}
\]

- Gia tốc cực đại \( a_{\text{max}} \) là giá trị tuyệt đối lớn nhất của gia tốc:

\[
a_{\text{max}} = 2\pi^2 \text{ cm/s}^2
\]

Tóm lại:
- Phương trình vận tốc: \( v(t) = -2\pi \sin\left(\pi t + \frac{\pi}{6}\right) \)
- Phương trình gia tốc: \( a(t) = -2\pi^2 \cos\left(\pi t + \frac{\pi}{6}\right) \)
- Vận tốc tại \( t = 0.5 \, s \): \( -\pi \sqrt{3} \text{ cm/s} \)
- Gia tốc tại \( t = 0.5 \, s \): \( \pi^2 \text{ cm/s}^2 \)
- Tốc độ cực đại: \( 2\pi \text{ cm/s} \)
- Gia tốc cực đại: \( 2\pi^2 \text{ cm/s}^2 \)