Để chứng minh rằng \( 2A \) và \( B \) là hai số nguyên liên tiếp, ta sẽ tính giá trị của \( A \) và \( B \):

1. **Tính giá trị của \( A \)**:

Dãy này là một cấp số nhân với \( a = 3^0 = 1 \) và số hạng cuối là \( 3^{2008} \). Độ dài của dãy là \( 2009 \) (từ 0 đến 2008).

Công thức tổng của cấp số nhân là:
\[
S_n = a \frac{r^n - 1}{r - 1}
\]
với \( r = 3 \) và \( n = 2009 \):
\[
A = 1 \cdot \frac{3^{2009} - 1}{3 - 1} = \frac{3^{2009} - 1}{2}
\]

2. **Tính giá trị của \( B \)**:

Ta có \( B = 3^{2009} \).

3. **Tính \( 2A \)**:

Thay giá trị của \( A \):
\[
2A = 2 \cdot \frac{3^{2009} - 1}{2} = 3^{2009} - 1
\]

4. **So sánh \( 2A \) và \( B \)**:

Giờ ta có:
- \( 2A = 3^{2009} - 1 \)
- \( B = 3^{2009} \)

Ta dễ thấy rằng:
\[
2A + 1 = 3^{2009} - 1 + 1 = 3^{2009} = B
\]
từ đó suy ra:
\[
2A = B - 1
\]

Như vậy, \( 2A \) và \( B \) là hai số nguyên liên tiếp, vì:
\[
B - 1 < B < B + 1
\]

**Kết luận:**
\( 2A \) và \( B \) là hai số nguyên liên tiếp.