Ta sẽ tiến hành rút gọn biểu thức đã cho:

\[
\left( 1 + \frac{1}{\sqrt{x}} \right) \left( \frac{1}{\sqrt{x} + 1} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{2}{x - 1} \right)
\]

Bước 1: Rút gọn phần trong dấu ngoặc.

Ta có:

\[
\frac{1}{\sqrt{x} + 1} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{2}{x - 1}
\]

Tìm mẫu chung cho các phân thức:

Mẫu chung của hai phân thức đầu tiên là \((\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1) = x - 1\).

Vì vậy, ta có thể viết lại các phân thức như sau:

\[
\frac{\sqrt{x} - 1 + \sqrt{x} + 1 - 2}{x - 1}
\]

Rút gọn:

\[
\frac{2\sqrt{x} - 2}{x - 1} = \frac{2(\sqrt{x} - 1)}{x - 1}
\]

Phần cuối cùng là còn \(-\frac{2}{x - 1}\):

\[
\frac{2(\sqrt{x} - 1)}{x - 1} - \frac{2}{x - 1} = \frac{2(\sqrt{x} - 1 - 1)}{x - 1} = \frac{2(\sqrt{x} - 2)}{x - 1}
\]

Bây giờ, ta kết hợp lại với phần trước:

Bước 2: Nhân với \(\left( 1 + \frac{1}{\sqrt{x}} \right)\):

\[
\left( 1 + \frac{1}{\sqrt{x}} \right) \cdot \frac{2(\sqrt{x} - 2)}{x - 1}
\]

Phân tích phần này:

\[
= \frac{2(\sqrt{x} - 2) + \frac{2(\sqrt{x} - 2)}{\sqrt{x}}}{x - 1}
\]

Ta rút gọn thành:

\[
= \frac{2\left( \sqrt{x} - 2 + \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}} \right)}{x - 1}
\]

Cuối cùng, sẽ được:

\[
= \frac{2\left( \sqrt{x} - 2\left( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} + 1 \right) \right)}{x - 1}
\]

Kết luận:

Biểu thức đã cho rút gọn thành:

\[
\frac{2(\sqrt{x} - 2)}{x - 1}
\]

Với điều kiện \(x > 0\) và \(x \neq 1\).