Để chứng minh các biểu thức sau không âm, ta cần xác định rằng chúng luôn lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi giá trị của biến \( x \) và \( y \).

### a) \( x^2 - 8x + 20 \)

Ta chuyển đổi biểu thức này thành dạng phân tích. Sử dụng công thức hoàn thành bình phương:

\[
x^2 - 8x + 20 = (x - 4)^2 + 4
\]

Vì \( (x - 4)^2 \geq 0 \) với mọi \( x \), nên:

\[
(x - 4)^2 + 4 \geq 4 > 0
\]

Do đó, biểu thức này không âm.

### b) \( 4x^2 - 12x + 11 \)

Tương tự, ta sử dụng công thức hoàn thành bình phương:

\[
4x^2 - 12x + 11 = 4 \left( x^2 - 3x + \frac{11}{4} \right)
\]

Tiến hành hoàn thành bình phương:

\[
x^2 - 3x + \frac{11}{4} = \left( x - \frac{3}{2} \right)^2 + \frac{11}{4} - \frac{9}{4} = \left( x - \frac{3}{2} \right)^2 + \frac{2}{4} = \left( x - \frac{3}{2} \right)^2 + \frac{1}{2}
\]

Do đó:

\[
4 \left( \left( x - \frac{3}{2} \right)^2 + \frac{1}{2} \right) \geq 4 \cdot \frac{1}{2} = 2 > 0
\]

### c) \( x^2 - 2x + y^2 + 6 \)

Chuyển đổi biểu thức \( x \):

\[
x^2 - 2x + y^2 + 6 = (x - 1)^2 + y^2 + 5
\]

Các thành phần \( (x - 1)^2 \) và \( y^2 \) đều không âm, do đó:

\[
(x - 1)^2 + y^2 + 5 \geq 0 + 5 > 0
\]

### d) \( x^2 + 5y^2 + 2x + by + 34 \)

Để xem biểu thức này không âm, ta cũng cần hoàn thành bình phương cho \( x \) và \( y \).

Ta nhóm lại:

\[
x^2 + 2x + 5y^2 + by + 34
\]

Hoàn thành bình phương cho \( x \):

\[
(x + 1)^2 - 1
\]

Biểu thức trở thành:

\[
(x + 1)^2 + 5y^2 + by + 33
\]

Để biểu thức này không âm, ta cần khoảng cách từ \( y \):

Ta có \( 5y^2 + by \) có thể không âm cho các giá trị của \( b \). Tuy nhiên, với \( y \), chúng ta cũng phải đảm bảo rằng:

\[
5\left(y + \frac{b}{10}\right)^2 \geq -\frac{b^2}{10}
\]

Do đó, tổng thể, để biểu thức là không âm, điều quan trọng là chiều của \( b \) trong biểu thức. Ta phải xác định điều kiện của \( b \) để đảm bảo \( -\frac{b^2}{10} + 33 \geq 0 \).

### Kết luận

Mọi biểu thức trên đều không âm, trừ phần d) cần xác định thêm giá trị của \( b \).