Bài tập  /  Bài đang cần trả lời

Chứng minh các biểu thức sau không âm

----- Nội dung ảnh -----
Bài 3: Chứng minh các biểu thức sau không âm:

a) \( x^2 - 8x + 20 \)

b) \( 4x^2 - 12x + 11 \)

c) \( x^2 - 2x + y^2 + 4y + 6 \)

d) \( x^2 + 5y^2 + 2x + 6y + 34 \)
1 trả lời
Hỏi chi tiết
48
Tham khảo câu trả lời từ Trợ lý ảo Lazi
Để chứng minh các biểu thức sau không âm, ta cần xác định rằng chúng luôn lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi giá trị của biến \( x \) và \( y \).

### a) \( x^2 - 8x + 20 \)

Ta chuyển đổi biểu thức này thành dạng phân tích. Sử dụng công thức hoàn thành bình phương:

\[
x^2 - 8x + 20 = (x - 4)^2 + 4
\]

Vì \( (x - 4)^2 \geq 0 \) với mọi \( x \), nên:

\[
(x - 4)^2 + 4 \geq 4 > 0
\]

Do đó, biểu thức này không âm.

### b) \( 4x^2 - 12x + 11 \)

Tương tự, ta sử dụng công thức hoàn thành bình phương:

\[
4x^2 - 12x + 11 = 4 \left( x^2 - 3x + \frac{11}{4} \right)
\]

Tiến hành hoàn thành bình phương:

\[
x^2 - 3x + \frac{11}{4} = \left( x - \frac{3}{2} \right)^2 + \frac{11}{4} - \frac{9}{4} = \left( x - \frac{3}{2} \right)^2 + \frac{2}{4} = \left( x - \frac{3}{2} \right)^2 + \frac{1}{2}
\]

Do đó:

\[
4 \left( \left( x - \frac{3}{2} \right)^2 + \frac{1}{2} \right) \geq 4 \cdot \frac{1}{2} = 2 > 0
\]

### c) \( x^2 - 2x + y^2 + 6 \)

Chuyển đổi biểu thức \( x \):

\[
x^2 - 2x + y^2 + 6 = (x - 1)^2 + y^2 + 5
\]

Các thành phần \( (x - 1)^2 \) và \( y^2 \) đều không âm, do đó:

\[
(x - 1)^2 + y^2 + 5 \geq 0 + 5 > 0
\]

### d) \( x^2 + 5y^2 + 2x + by + 34 \)

Để xem biểu thức này không âm, ta cũng cần hoàn thành bình phương cho \( x \) và \( y \).

Ta nhóm lại:

\[
x^2 + 2x + 5y^2 + by + 34
\]

Hoàn thành bình phương cho \( x \):

\[
(x + 1)^2 - 1
\]

Biểu thức trở thành:

\[
(x + 1)^2 + 5y^2 + by + 33
\]

Để biểu thức này không âm, ta cần khoảng cách từ \( y \):

Ta có \( 5y^2 + by \) có thể không âm cho các giá trị của \( b \). Tuy nhiên, với \( y \), chúng ta cũng phải đảm bảo rằng:

\[
5\left(y + \frac{b}{10}\right)^2 \geq -\frac{b^2}{10}
\]

Do đó, tổng thể, để biểu thức là không âm, điều quan trọng là chiều của \( b \) trong biểu thức. Ta phải xác định điều kiện của \( b \) để đảm bảo \( -\frac{b^2}{10} + 33 \geq 0 \).

### Kết luận

Mọi biểu thức trên đều không âm, trừ phần d) cần xác định thêm giá trị của \( b \).
2
0
+5đ tặng

Mở khóa để xem toàn bộ nội dung trả lời

(?)
Bạn đã đạt đến giới hạn của mình. Bằng cách Đăng ký tài khoản, bạn có thể xem toàn bộ nội dung trả lời
Cải thiện điểm số của bạn bằng cách đăng ký tài khoản Lazi.
Xem toàn bộ các câu trả lời, chat trực tiếp 1:1 với đội ngũ Gia sư Lazi bằng cách Đăng nhập tài khoản ngay bây giờ
Tôi đã có tài khoản? Đăng nhập

Bạn hỏi - Lazi trả lời

Bạn muốn biết điều gì?

GỬI CÂU HỎI
Học tập không giới hạn cùng học sinh cả nước và AI, sôi động, tích cực, trải nghiệm
Trắc nghiệm Toán học Lớp 8 mới nhất

Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi

Vui Buồn Bình thường

Học ngoại ngữ với Flashcard

×
Trợ lý ảo Trợ lý ảo
×
Đấu trường tri thức | Lazi Quiz Challenge +500k