Để giải bất phương trình \( x + \frac{2}{x^3} < 0 \), ta sẽ làm theo các bước sau:

1. **Xác định điều kiện xác định**:
- Biểu thức \( \frac{2}{x^3} \) xác định khi \( x^3 \neq 0 \), tức là \( x \neq 0 \).

2. **Biến đổi bất phương trình**:
- Ta chuyển về cùng mẫu:
\[
x + \frac{2}{x^3} < 0 \implies \frac{x^4 + 2}{x^3} < 0
\]
- Bất phương trình này có nghĩa là \( x^4 + 2 < 0 \), và tất cả các số \( x^4 \) luôn dương (bởi vì \( x^4 \geq 0 \) với mọi \( x \)), do đó \( x^4 + 2 \) luôn dương.
- Vì vậy, \( \frac{x^4 + 2}{x^3} \) sẽ không âm chỉ khi \( x^3 \) âm.

3. **Tìm dấu của \( x^3 \)**:
- \( \frac{x^4 + 2}{x^3} < 0 \) xảy ra khi \( x^3 < 0 \), tức là \( x < 0 \).

4. **Tổng hợp điều kiện**:
- Từ điều kiện \( x < 0 \) và \( x \neq 0 \), ta có kết luận rằng bất phương trình thỏa mãn khi \( x < 0 \).

5. **Kết luận**:
- Giải của bất phương trình \( x + \frac{2}{x^3} < 0 \) là \( x < 0 \).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \( x \in (-\infty, 0) \).