Thực hiện phép tính

Để giải các bài toán này, ta sẽ lần lượt thực hiện từng phần:

### b)
Giải phương trình:
\[
(1 - 2\sin x - \cos 2x)(3\cot x + \sqrt{3}) = 0
\]

Ta cần giải từng phần của phương trình.

1. **Phần 1**: \(1 - 2\sin x - \cos 2x = 0\)

Sử dụng công thức \(\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x\):
\[
1 - 2\sin x - (1 - 2\sin^2 x) = 0 \\
-2\sin x + 2\sin^2 x = 0 \\
2\sin^2 x - 2\sin x = 0 \\
2\sin x(\sin x - 1) = 0
\]

Phương trình có nghiệm là:
\[
\sin x = 0 \quad \text{hoặc} \quad \sin x = 1 \\
x = n\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \quad (n, k \in \mathbb{Z})
\]

2. **Phần 2**: \(3\cot x + \sqrt{3} = 0\)

Ta có:
\[
\cot x = -\frac{\sqrt{3}}{3} \\
x = \frac{5\pi}{6} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
\]

### c)
Giải phương trình:
\[
\cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha - \cos 4\alpha = \sin 3\alpha
\]

Sử dụng những định lý lượng giác và công thức:
\[
\cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha = (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = \cos 2\alpha
\]
Vậy ta có:
\[
\cos 2\alpha - \cos 4\alpha = \sin 3\alpha
\]

Sau đó sử dụng công thức biến đổi để giải và tìm nghiệm cho \(\alpha\).

### d)
Giải phương trình:
\[
4\sin\alpha \cdot \sin\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right) \cdot \sin\left(2\alpha - \frac{\pi}{2}\right) + \sqrt{3}\cos 4\alpha = 1
\]

Sử dụng công thức:
\[
\sin\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right) = -\cos\alpha
\]
\[
\sin\left(2\alpha - \frac{\pi}{2}\right) = -\cos 2\alpha
\]

Thay vào phương trình:
\[
4\sin\alpha (-\cos\alpha)(-\cos 2\alpha) + \sqrt{3}\cos 4\alpha = 1 \\
4\sin\alpha\cos\alpha\cos 2\alpha + \sqrt{3}\cos 4\alpha = 1
\]

Tiến hành giải phương trình này để tìm điều kiện cho \(\alpha\).

### Kết luận
Từng phần có thể được giải quyết và cần được xử lý chi tiết hơn để tìm ra nghiệm cụ thể cho từng bài. Bạn có thể tiếp tục tìm nghiệm cho từng phương trình dựa trên hướng dẫn ở trên.