Để chứng minh tứ giác \( AMCN \) là hình bình hành, ta cần xác minh hai điều kiện, đó là:

1. Hai cặp cạnh đối diện phải song song.
2. Hai cặp cạnh đối diện phải bằng nhau.

**Chứng minh:**

1. **Xác định các điểm:**
- \( M \) là trung điểm của cạnh \( BC \).
- \( N \) là trung điểm của cạnh \( AD \).

2. **Chứng minh \( AM \parallel CN \) và \( AN \parallel MC \):**
- Từ tính chất của hình bình hành ABCD, ta có \( AB \parallel CD \) và \( BC \parallel AD \).
- Vì \( M \) và \( N \) là trung điểm, nên \( AM \) và \( CN \) sẽ là các đoạn nối từ \( A \) đến trung điểm \( M \) và từ \( C \) đến trung điểm \( N \). Theo tính chất trung điểm và đường song song, ta có:
\[
AM \parallel CN
\]
\[
AN \parallel MC
\]
- Từ đó, chúng ta suy ra \( AM \parallel CN \) và \( AN \parallel MC \).

3. **Chứng minh \( AM = CN \) và \( AN = MC \):**
- Vì \( M \) là trung điểm của \( BC \) và \( N \) là trung điểm của \( AD \), nên:
\[
AM = \frac{1}{2}AB \quad \text{và} \quad CN = \frac{1}{2}CD
\]
- Tương tự như vậy, ta có:
\[
AN = \frac{1}{2}AD \quad \text{và} \quad MC = \frac{1}{2}BC
\]

4. **Kết luận:**
- Tứ giác \( AMCN \) có hai cặp cạnh đối diện vừa song song vừa bằng nhau. Do đó, \( AMCN \) là một hình bình hành.

Vậy tứ giác \( AMCN \) là hình bình hành.