Để chứng minh tứ giác \( BCHK \) là hình chữ nhật, ta có thể thực hiện theo các bước sau:

1. **Xác định các điểm và các vector:**
- Gọi \( A \) là đỉnh của tam giác \( ABC \),
- \( B \) và \( C \) là các đỉnh đối diện với \( A \).
- Giả sử \( A(0, h), B(-b, 0), C(b, 0) \). Khi đó tam giác \( ABC \) là tam giác cân.

2. **Tính tọa độ các trung điểm:**
- \( M \) là trung điểm của \( BC \), do đó tọa độ của \( M \) là:
\[
M\left( \frac{-b + b}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = (0, 0)
\]
- \( N \) là trung điểm của \( AC \) và tọa độ của \( N \) là:
\[
N\left( \frac{0 + b}{2}, \frac{h + 0}{2} \right) = \left( \frac{b}{2}, \frac{h}{2} \right)
\]

3. **Gọi \( K \) và \( H \):**
- \( H \) là một điểm trên đường thẳng \( BM \) và \( K \) là một điểm trên đường thẳng \( CN \).
- Giả sử \( G \) là giao điểm của các trung tuyến, do tính chất của tam giác cân, ta có \( G \) là trung điểm của đoạn thẳng \( BC \).

4. **Tính tọa độ điểm \( K \):**
- \( K \) có thể nằm trên đường thẳng \( CN \).
- Ta biết rằng \( GK \) là trung tuyến.

5. **Chứng minh các góc vuông:**
- Vì \( M \) là trung điểm, và \( GK \) và \( GH \) có các trung điểm \( M \) và một tọa độ cụ thể, ta có thể tính góc \( BHK \) và góc \( HCK \) để chỉ ra rằng chúng là góc vuông.
- Để chứng minh điều này, ta cần tính tích vô hướng của các vector \( BH \) và \( BK \).

6. **Kết luận:**
- Tứ giác \( BCHK \) sẽ là hình chữ nhật nếu \( BH \perp BK \), tức là biểu thức cho tích vô hướng bằng 0.
- Một cách tự nhiên với \( B \), \( H \), \( C \), và \( K \) là các điểm cho trước ở trên và trong cùng một mặt phẳng hình.

### Vẽ hình

Tôi không thể trực tiếp vẽ hình, nhưng bạn có thể hình dung như sau:
- Vẽ tam giác cân \( ABC \) với \( A \) ở trên đỉnh, \( B \) và \( C \) ở dưới đáy.
- Vẽ hai đường trung tuyến \( BM \) và \( CN \), cắt nhau tại điểm \( G \).
- Thêm các điểm \( H \) và \( K \) trên các trung tuyến, sao cho các phép tính trên được thoả mãn.

Hy vọng rằng những bước phân tích này sẽ giúp bạn trong việc hình dung và hoàn thành chứng minh.