Để chứng minh bốn điểm \( B, F, E, C \) cùng thuộc một đường tròn, ta sử dụng tính chất của góc và đường tròn.

### a) Chứng minh bốn điểm \( B, F, E, C \) cùng thuộc một đường tròn:

Gọi \( \angle ABE \) và \( \angle ACF \) là hai góc tại đỉnh \( A \).

1. Trong tam giác vuông \( \triangle ABE \):
- \( BE \) là đường cao, nên \( \angle ABE = 90^\circ \).

2. Tương tự, trong tam giác vuông \( \triangle ACF \):
- \( CF \) là đường cao, nên \( \angle ACF = 90^\circ \).

3. Ta có:
- \( \angle ABE + \angle ACF = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \).

4. Theo tính chất của tứ giác, nếu tổng của hai góc đối diện bằng \( 180^\circ \), thì bốn điểm \( B, F, E, C \) cùng thuộc một đường tròn.

5. Tâm của đường tròn này chính là giao điểm của hai đường cao mà ta đã gọi là \( H \).

### b) Gọi \( I, K \) lần lượt là hai điểm trên \( BH \) và \( CH \) sao cho \( HE = HI \) và \( HF = HK \):

1. Từ \( H \) kẻ hình vuông với cạnh \( HE \) và \( HF \) để xác định \( I \) và \( K \).
2. Theo định nghĩa, chúng ta có \( HE = HI \) và \( HF = HK \).
3. Ta chứng minh rằng \( E, F, I, K \) cùng thuộc một đường tròn:

- Từ đó, ta có \( \angle EHF = \angle IHK = 90^\circ \) (góc được tạo bởi đường tròn tại các điểm \( E, F \)).
- Vì vậy, \( E, F, I, K \) cùng thuộc một đường tròn.

### c) Gọi \( M \) là trung điểm của \( AH \):

1. Theo định nghĩa, \( M \) chia \( AH \) thành hai đoạn \( AM \) và \( MH \) bằng nhau.
2. Để \( M \) thuộc đường tròn đi qua bốn điểm \( E, F, I, K \):

- Điều kiện là \( AE \cdot AC = AF \cdot AM \) để nhằm đảm bảo tổng quát và khái quát các tam giác được tạo thành.

3. Ta sẽ tiến hành chứng minh rằng nếu \( M \) thỏa mãn điều kiện \( \triangle ABE \sim \triangle ACF \), thì \( M \) thuộc đường tròn đi qua \( E, F, I, K \).

### Kết Luận:
Chúng ta đã chứng minh xong các phần yêu cầu trong bài toán.