Để giải bài toán này, ta thực hiện các bước như sau:

### a) Giải tam giác \( \triangle ABC \) và tính độ dài đường cao \( AH \)

Đối với tam giác vuông \( ABC \) với \( \angle A = 90^\circ \), \( \angle B = 60^\circ \), và \( BC = 16 \, \text{cm} \):

1. **Tính cạnh \( AB \)**:
Sử dụng định nghĩa về sin trong tam giác vuông:
\[
\sin B = \frac{AH}{BC}
\]
\( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \), vậy:
\[
AH = BC \cdot \sin B = 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3} \, \text{cm}
\]

2. **Tính cạnh \( AC \)**:
Sử dụng định nghĩa về cos:
\[
\cos B = \frac{AB}{BC}
\]
\( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \), vậy:
\[
AB = BC \cdot \cos B = 16 \cdot \frac{1}{2} = 8 \, \text{cm}
\]

3. **Tính cạnh \( AC \) bằng định lý Pythagore**:
\[
AC^2 = AB^2 + BC^2 = 8^2 + 16^2 = 64 + 256 = 320
\]
\[
AC = \sqrt{320} = 8\sqrt{5} \, \text{cm}
\]

### b) Kẻ đường thẳng song song với \( AC \) tại \( B \)

Giả sử đường thẳng này cắt \( AH \) tại \( I \). Từ tính chất của hình chữ nhật, ta có:
\[
AH \cdot AI = BH \cdot BC
\]
Biết \( AH = 8\sqrt{3} \), \( BC = 16 \):
\[
AI = \frac{BH \cdot BC}{AH}
\]

### c) Chứng minh tỷ lệ:

Xét mặt phẳng \( AH \) chứa điểm \( B \), và đoạn thẳng \( AD \) sao cho \( AD = BH \) và \( AD \parallel AD \).

Gọi \( E \) là giao điểm của \( AH \) và \( DC \). Theo định lý tương tự, ta có:
\[
\frac{AH^2}{DC^2} + \frac{BH^2}{DE^2} = 1
\]

### Tóm tắt kết quả:
- Độ dài đường cao \( AH = 8\sqrt{3} \, \text{cm} \)
- Các cạnh còn lại là:
- \( AB = 8 \, \text{cm} \)
- \( AC = 8\sqrt{5} \, \text{cm} \)

Nếu có phần nào cần thêm chi tiết, bạn vui lòng cho biết!