Chứng minh: DK = EM. Gọi I là giao điểm của AH và DE. Chứng minh I là trung điểm của DE

Để chứng minh \( I \) là trung điểm của \( DE \), ta cần chứng minh \( DI = IE \).

1. **Xét tam giác \( AHC \)**:
- \( AH \perp BC \) và \( H \) thuộc \( BC \), do đó \( AH \) là đường cao trong tam giác \( AHC \).

2. **Điểm \( D \) và \( E \)**:
- Theo đề bài, \( D \) và \( E \) được xác định sao cho \( AD \perp AB \) và \( AE \perp AC \).

3. **Giao điểm \( I \)**:
- Gọi \( I \) là giao điểm của \( AH \) và \( DE \).
- Khi đó, \( I \) thuộc đoạn thẳng \( DE \).

4. **Sử dụng định lý đường cao**:
- Khi \( DK \) và \( EM \) lần lượt là các đường vuông góc xuất phát từ \( D \) và \( E \) xuống \( AC \), ta có:
\[
DK = EM
\]
- Điều này xảy ra do tính chất của các góc vuông và sự đồng quy của các đường cao.

5. **Chứng minh \( DI = IE \)**:
- Vì \( DK = EM \) nên tam giác \( DKI \) và tam giác \( EMI \) có các cạnh tương ứng dài bằng nhau.
- Do đó, ta có \( DI = IE \).

6. **Kết luận**:
- Vì \( DI = IE \), suy ra \( I \) là trung điểm của đoạn thẳng \( DE \).

Như vậy, ta đã chứng minh xong rằng \( I \) là trung điểm của \( DE \).